Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50813 / 48636
↖ ↑ ↗
← S 65.357677°
E 99.124146°		 ← 254.67 m → S 65.357677°
E 99.129639°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
S 65.359967°
E 99.124146°		 ← 254.65 m →
64 865 m²		 S 65.359967°
E 99.129639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775352478027344 y=0.742134094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775352478027344 × 216)
    floor (0.775352478027344 × 65536)
    floor (50813.5)     		tx = 50813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742134094238281 × 216)
    floor (0.742134094238281 × 65536)
    floor (48636.5)     		ty = 48636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50813 / 48636 ti = "16/50813/48636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50813/48636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50813 ÷ 216
    50813 ÷ 65536     		x = 0.775344848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48636 ÷ 216
    48636 ÷ 65536     		y = 0.74212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775344848632812 × 2 - 1) × π
    0.550689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73004271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73004271} λ = 1.73004271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5213254463421))-π/2
    2×atan(0.218422188114224)-π/2
    2×0.21504483638591-π/2
    0.43008967277182-1.57079632675     		φ = -1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73004271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.124146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50813 KachelY 48636 1.73004271 -1.14070665 99.124146 -65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 50814 KachelY 48636 1.73013858 -1.14070665 99.129639 -65.357677
    Unten links KachelX 50813 KachelY + 1 48637 1.73004271 -1.14074663 99.124146 -65.359967
    Unten rechts KachelX + 1 50814 KachelY + 1 48637 1.73013858 -1.14074663 99.129639 -65.359967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14070665--1.14074663) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14070665--1.14074663) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.14070665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 254.669373995974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.14074663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		du = 254.647178402593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14070665)-sin(-1.14074663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.416915974598834)×R²
    abs(1.73013858-1.73004271)×3.63392891466474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63392891466474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63392891466474e-05×40589641000000     		ar = 64864.6665577361m²