Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50813 / 48265
↖ ↑ ↗
← S 64.494091°
E 99.124146°		 ← 263.01 m → S 64.494091°
E 99.129639°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
S 64.496456°
E 99.124146°		 ← 262.99 m →
69 167 m²		 S 64.496456°
E 99.129639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775352478027344 y=0.736473083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775352478027344 × 216)
    floor (0.775352478027344 × 65536)
    floor (50813.5)     		tx = 50813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736473083496094 × 216)
    floor (0.736473083496094 × 65536)
    floor (48265.5)     		ty = 48265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50813 / 48265 ti = "16/50813/48265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50813/48265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50813 ÷ 216
    50813 ÷ 65536     		x = 0.775344848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48265 ÷ 216
    48265 ÷ 65536     		y = 0.736465454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775344848632812 × 2 - 1) × π
    0.550689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73004271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736465454101562 × 2 - 1) × π
    -0.472930908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48575626682402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73004271} λ = 1.73004271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48575626682402))-π/2
    2×atan(0.226331109227146)-π/2
    2×0.222581049526378-π/2
    0.445162099052755-1.57079632675     		φ = -1.12563423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73004271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.124146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12563423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.494091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50813 KachelY 48265 1.73004271 -1.12563423 99.124146 -64.494091
    Oben rechts KachelX + 1 50814 KachelY 48265 1.73013858 -1.12563423 99.129639 -64.494091
    Unten links KachelX 50813 KachelY + 1 48266 1.73004271 -1.12567551 99.124146 -64.496456
    Unten rechts KachelX + 1 50814 KachelY + 1 48266 1.73013858 -1.12567551 99.129639 -64.496456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12563423--1.12567551) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12563423--1.12567551) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.12563423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430604184940948 × 6371000     		do = 263.007769872744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.12567551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430566927686644 × 6371000     		du = 262.985013597471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12563423)-sin(-1.12567551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430604184940948-0.430566927686644)×R²
    abs(1.73013858-1.73004271)×3.72572543037575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72572543037575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72572543037575e-05×40589641000000     		ar = 69166.7044944213m²