Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50813 / 48264
↖ ↑ ↗
← S 64.491725°
E 99.124146°		 ← 263.03 m → S 64.491725°
E 99.129639°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 64.494091°
E 99.124146°		 ← 263.01 m →
69 189 m²		 S 64.494091°
E 99.129639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775352478027344 y=0.736457824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775352478027344 × 216)
    floor (0.775352478027344 × 65536)
    floor (50813.5)     		tx = 50813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736457824707031 × 216)
    floor (0.736457824707031 × 65536)
    floor (48264.5)     		ty = 48264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50813 / 48264 ti = "16/50813/48264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50813/48264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50813 ÷ 216
    50813 ÷ 65536     		x = 0.775344848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48264 ÷ 216
    48264 ÷ 65536     		y = 0.7364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775344848632812 × 2 - 1) × π
    0.550689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73004271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73004271} λ = 1.73004271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48566039302478))-π/2
    2×atan(0.2263528094907)-π/2
    2×0.222601692249154-π/2
    0.445203384498307-1.57079632675     		φ = -1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73004271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.124146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50813 KachelY 48264 1.73004271 -1.12559294 99.124146 -64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 50814 KachelY 48264 1.73013858 -1.12559294 99.129639 -64.491725
    Unten links KachelX 50813 KachelY + 1 48265 1.73004271 -1.12563423 99.124146 -64.494091
    Unten rechts KachelX + 1 50814 KachelY + 1 48265 1.73013858 -1.12563423 99.129639 -64.494091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12559294--1.12563423) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12559294--1.12563423) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.12559294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 263.030531212341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73004271-1.73013858) × cos(-1.12563423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430604184940948 × 6371000     		du = 263.007769872744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12559294)-sin(-1.12563423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430604184940948)×R²
    abs(1.73013858-1.73004271)×3.72655457686055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72655457686055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72655457686055e-05×40589641000000     		ar = 69189.4468947184m²