Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5081 / 4025
↖ ↑ ↗
← N 67.127291°
W 68.356934°		 ← 949.67 m → N 67.127291°
W 68.334961°		 →
↑
949.85 m
↓
↑
949.85 m
↓
N 67.118748°
W 68.356934°		 ← 950 m →
902 202 m²		 N 67.118748°
W 68.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.310150146484375 y=0.245697021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.310150146484375 × 214)
    floor (0.310150146484375 × 16384)
    floor (5081.5)     		tx = 5081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245697021484375 × 214)
    floor (0.245697021484375 × 16384)
    floor (4025.5)     		ty = 4025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5081 / 4025 ti = "14/5081/4025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5081/4025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5081 ÷ 214
    5081 ÷ 16384     		x = 0.31011962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4025 ÷ 214
    4025 ÷ 16384     		y = 0.24566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.19305356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24566650390625 × 2 - 1) × π
    0.5086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59802448573419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.19305356} λ = -1.19305356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59802448573419))-π/2
    2×atan(4.94325729681279)-π/2
    2×1.3711942815282-π/2
    2.7423885630564-1.57079632675     		φ = 1.17159224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.19305356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -68.356934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17159224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.127291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5081 KachelY 4025 -1.19305356 1.17159224 -68.356934 67.127291
    Oben rechts KachelX + 1 5082 KachelY 4025 -1.19267006 1.17159224 -68.334961 67.127291
    Unten links KachelX 5081 KachelY + 1 4026 -1.19305356 1.17144315 -68.356934 67.118748
    Unten rechts KachelX + 1 5082 KachelY + 1 4026 -1.19267006 1.17144315 -68.334961 67.118748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17159224-1.17144315) × R
    0.000149090000000074 × 6371000     		dl = 949.852390000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17159224-1.17144315) × R
    0.000149090000000074 × 6371000     		dr = 949.852390000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.19305356--1.19267006) × cos(1.17159224) × R
    0.000383500000000092 × 0.38868513443428 × 6371000     		do = 949.666032233114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.19305356--1.19267006) × cos(1.17144315) × R
    0.000383500000000092 × 0.388822497263486 × 6371000     		du = 950.001647880412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17159224)-sin(1.17144315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38868513443428-0.388822497263486)×R²
    abs(-1.19267006--1.19305356)×0.000137362829205956×R²
    0.000383500000000092×0.000137362829205956×6371000²
    0.000383500000000092×0.000137362829205956×40589641000000     		ar = 902201.944752626m²