Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5081 / 1272
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 43.286133°		 ← 1 105.82 m → N 76.920614°
E 43.330078°		 →
↑
1 106.26 m
↓
↑
1 106.26 m
↓
N 76.910665°
E 43.286133°		 ← 1 106.64 m →
1 223 780 m²		 N 76.910665°
E 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62030029296875 y=0.15533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62030029296875 × 213)
    floor (0.62030029296875 × 8192)
    floor (5081.5)     		tx = 5081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15533447265625 × 213)
    floor (0.15533447265625 × 8192)
    floor (1272.5)     		ty = 1272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5081 / 1272 ti = "13/5081/1272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5081/1272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5081 ÷ 213
    5081 ÷ 8192     		x = 0.6202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1272 ÷ 213
    1272 ÷ 8192     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75548554} λ = 0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5081 KachelY 1272 0.75548554 1.34251797 43.286133 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 5082 KachelY 1272 0.75625253 1.34251797 43.330078 76.920614
    Unten links KachelX 5081 KachelY + 1 1273 0.75548554 1.34234433 43.286133 76.910665
    Unten rechts KachelX + 1 5082 KachelY + 1 1273 0.75625253 1.34234433 43.330078 76.910665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34234433) × R
    0.000173640000000086 × 6371000     		dl = 1106.26044000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34234433) × R
    0.000173640000000086 × 6371000     		dr = 1106.26044000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75548554-0.75625253) × cos(1.34251797) × R
    0.000766990000000023 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 1105.81773340705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75548554-0.75625253) × cos(1.34234433) × R
    0.000766990000000023 × 0.226470012284186 × 6371000     		du = 1106.64419541292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34234433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226470012284186)×R²
    abs(0.75625253-0.75548554)×0.000169131922798299×R²
    0.000766990000000023×0.000169131922798299×6371000²
    0.000766990000000023×0.000169131922798299×40589641000000     		ar = 1223779.55650365m²