Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50809 / 48171
↖ ↑ ↗
← S 64.270839°
E 99.102173°		 ← 265.18 m → S 64.270839°
E 99.107666°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 64.273223°
E 99.102173°		 ← 265.16 m →
70 313 m²		 S 64.273223°
E 99.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775291442871094 y=0.735038757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775291442871094 × 216)
    floor (0.775291442871094 × 65536)
    floor (50809.5)     		tx = 50809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735038757324219 × 216)
    floor (0.735038757324219 × 65536)
    floor (48171.5)     		ty = 48171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50809 / 48171 ti = "16/50809/48171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50809/48171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50809 ÷ 216
    50809 ÷ 65536     		x = 0.775283813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48171 ÷ 216
    48171 ÷ 65536     		y = 0.735031127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775283813476562 × 2 - 1) × π
    0.550567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72965921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735031127929688 × 2 - 1) × π
    -0.470062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47674412969545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72965921} λ = 1.72965921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47674412969545))-π/2
    2×atan(0.228380055042598)-π/2
    2×0.22452928919342-π/2
    0.44905857838684-1.57079632675     		φ = -1.12173775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72965921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.102173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12173775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.270839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50809 KachelY 48171 1.72965921 -1.12173775 99.102173 -64.270839
    Oben rechts KachelX + 1 50810 KachelY 48171 1.72975509 -1.12173775 99.107666 -64.270839
    Unten links KachelX 50809 KachelY + 1 48172 1.72965921 -1.12177937 99.102173 -64.273223
    Unten rechts KachelX + 1 50810 KachelY + 1 48172 1.72975509 -1.12177937 99.107666 -64.273223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12173775--1.12177937) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12173775--1.12177937) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72965921-1.72975509) × cos(-1.12173775) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434117639689222 × 6371000     		do = 265.181402698708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72965921-1.72975509) × cos(-1.12177937) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434080145678614 × 6371000     		du = 265.158499426837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12173775)-sin(-1.12177937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434117639689222-0.434080145678614)×R²
    abs(1.72975509-1.72965921)×3.74940106080413e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.74940106080413e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.74940106080413e-05×40589641000000     		ar = 70312.7347073609m²