Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50805 / 49527
↖ ↑ ↗
← S 67.320807°
E 99.080200°		 ← 235.50 m → S 67.320807°
E 99.085693°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 67.322924°
E 99.080200°		 ← 235.48 m →
55 452 m²		 S 67.322924°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775230407714844 y=0.755729675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775230407714844 × 216)
    floor (0.775230407714844 × 65536)
    floor (50805.5)     		tx = 50805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755729675292969 × 216)
    floor (0.755729675292969 × 65536)
    floor (49527.5)     		ty = 49527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50805 / 49527 ti = "16/50805/49527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50805/49527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50805 ÷ 216
    50805 ÷ 65536     		x = 0.775222778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49527 ÷ 216
    49527 ÷ 65536     		y = 0.755722045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755722045898438 × 2 - 1) × π
    -0.511444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60674900146504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72927572} λ = 1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60674900146504))-π/2
    2×atan(0.200538505866517)-π/2
    2×0.197913300289446-π/2
    0.395826600578891-1.57079632675     		φ = -1.17496973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17496973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.320807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50805 KachelY 49527 1.72927572 -1.17496973 99.080200 -67.320807
    Oben rechts KachelX + 1 50806 KachelY 49527 1.72937159 -1.17496973 99.085693 -67.320807
    Unten links KachelX 50805 KachelY + 1 49528 1.72927572 -1.17500669 99.080200 -67.322924
    Unten rechts KachelX + 1 50806 KachelY + 1 49528 1.72937159 -1.17500669 99.085693 -67.322924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17496973--1.17500669) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dl = 235.472160000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17496973--1.17500669) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dr = 235.472160000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.17496973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385571003260717 × 6371000     		do = 235.502053258271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.17500669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385536900812288 × 6371000     		du = 235.481223899843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17496973)-sin(-1.17500669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385571003260717-0.385536900812288)×R²
    abs(1.72937159-1.72927572)×3.4102448429385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4102448429385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4102448429385e-05×40589641000000     		ar = 55451.7248047554m²