Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50805 / 48749
↖ ↑ ↗
← S 65.615220°
E 99.080200°		 ← 252.17 m → S 65.615220°
E 99.085693°		 →
↑
252.16 m
↓
↑
252.16 m
↓
S 65.617487°
E 99.080200°		 ← 252.15 m →
63 586 m²		 S 65.617487°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775230407714844 y=0.743858337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775230407714844 × 216)
    floor (0.775230407714844 × 65536)
    floor (50805.5)     		tx = 50805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743858337402344 × 216)
    floor (0.743858337402344 × 65536)
    floor (48749.5)     		ty = 48749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50805 / 48749 ti = "16/50805/48749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50805/48749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50805 ÷ 216
    50805 ÷ 65536     		x = 0.775222778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48749 ÷ 216
    48749 ÷ 65536     		y = 0.743850708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743850708007812 × 2 - 1) × π
    -0.487701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53215918565623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72927572} λ = 1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53215918565623))-π/2
    2×atan(0.21606863099958)-π/2
    2×0.212797351449759-π/2
    0.425594702899518-1.57079632675     		φ = -1.14520162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14520162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.615220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50805 KachelY 48749 1.72927572 -1.14520162 99.080200 -65.615220
    Oben rechts KachelX + 1 50806 KachelY 48749 1.72937159 -1.14520162 99.085693 -65.615220
    Unten links KachelX 50805 KachelY + 1 48750 1.72927572 -1.14524120 99.080200 -65.617487
    Unten rechts KachelX + 1 50806 KachelY + 1 48750 1.72937159 -1.14524120 99.085693 -65.617487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14520162--1.14524120) × R
    3.95800000001501e-05 × 6371000     		dl = 252.164180000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14520162--1.14524120) × R
    3.95800000001501e-05 × 6371000     		dr = 252.164180000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.14520162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412862509722374 × 6371000     		do = 252.171371629927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.14524120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412826460197729 × 6371000     		du = 252.149353021159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14520162)-sin(-1.14524120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412862509722374-0.412826460197729)×R²
    abs(1.72937159-1.72927572)×3.6049524644699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6049524644699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6049524644699e-05×40589641000000     		ar = 63585.8110027061m²