Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50805 / 48748
↖ ↑ ↗
← S 65.612952°
E 99.080200°		 ← 252.19 m → S 65.612952°
E 99.085693°		 →
↑
252.16 m
↓
↑
252.16 m
↓
S 65.615220°
E 99.080200°		 ← 252.17 m →
63 591 m²		 S 65.615220°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775230407714844 y=0.743843078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775230407714844 × 216)
    floor (0.775230407714844 × 65536)
    floor (50805.5)     		tx = 50805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743843078613281 × 216)
    floor (0.743843078613281 × 65536)
    floor (48748.5)     		ty = 48748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50805 / 48748 ti = "16/50805/48748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50805/48748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50805 ÷ 216
    50805 ÷ 65536     		x = 0.775222778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48748 ÷ 216
    48748 ÷ 65536     		y = 0.74383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53206331185699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72927572} λ = 1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53206331185699))-π/2
    2×atan(0.21608934731319)-π/2
    2×0.212817143662397-π/2
    0.425634287324793-1.57079632675     		φ = -1.14516204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14516204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.612952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50805 KachelY 48748 1.72927572 -1.14516204 99.080200 -65.612952
    Oben rechts KachelX + 1 50806 KachelY 48748 1.72937159 -1.14516204 99.085693 -65.612952
    Unten links KachelX 50805 KachelY + 1 48749 1.72927572 -1.14520162 99.080200 -65.615220
    Unten rechts KachelX + 1 50806 KachelY + 1 48749 1.72937159 -1.14520162 99.085693 -65.615220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14516204--1.14520162) × R
    3.9579999999928e-05 × 6371000     		dl = 252.164179999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14516204--1.14520162) × R
    3.9579999999928e-05 × 6371000     		dr = 252.164179999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.14516204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412898558600238 × 6371000     		do = 252.193389843648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72927572-1.72937159) × cos(-1.14520162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412862509722374 × 6371000     		du = 252.171371629927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14516204)-sin(-1.14520162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412898558600238-0.412862509722374)×R²
    abs(1.72937159-1.72927572)×3.60488778639034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60488778639034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60488778639034e-05×40589641000000     		ar = 63591.3632570786m²