Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50802 / 49270
↖ ↑ ↗
← S 66.770253°
E 99.063721°		 ← 240.91 m → S 66.770253°
E 99.069214°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
S 66.772420°
E 99.063721°		 ← 240.89 m →
58 029 m²		 S 66.772420°
E 99.069214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775184631347656 y=0.751808166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775184631347656 × 216)
    floor (0.775184631347656 × 65536)
    floor (50802.5)     		tx = 50802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751808166503906 × 216)
    floor (0.751808166503906 × 65536)
    floor (49270.5)     		ty = 49270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50802 / 49270 ti = "16/50802/49270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50802/49270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50802 ÷ 216
    50802 ÷ 65536     		x = 0.775177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49270 ÷ 216
    49270 ÷ 65536     		y = 0.751800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    0.55035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72898810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.50360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58210943506033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72898810} λ = 1.72898810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58210943506033))-π/2
    2×atan(0.205541065054491)-π/2
    2×0.202717785403624-π/2
    0.405435570807249-1.57079632675     		φ = -1.16536076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72898810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16536076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.770253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50802 KachelY 49270 1.72898810 -1.16536076 99.063721 -66.770253
    Oben rechts KachelX + 1 50803 KachelY 49270 1.72908397 -1.16536076 99.069214 -66.770253
    Unten links KachelX 50802 KachelY + 1 49271 1.72898810 -1.16539857 99.063721 -66.772420
    Unten rechts KachelX + 1 50803 KachelY + 1 49271 1.72908397 -1.16539857 99.069214 -66.772420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16536076--1.16539857) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16536076--1.16539857) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72898810-1.72908397) × cos(-1.16536076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		do = 240.906334112692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72898810-1.72908397) × cos(-1.16539857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		du = 240.885112260318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16536076)-sin(-1.16539857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394419053467127-0.394384308415873)×R²
    abs(1.72908397-1.72898810)×3.47450512538372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47450512538372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47450512538372e-05×40589641000000     		ar = 58028.7709351996m²