Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50801 / 81968
↖ ↑ ↗
← S 41.079351°
W 40.470886°		 ← 230.23 m → S 41.079351°
W 40.468140°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
S 41.081422°
W 40.470886°		 ← 230.22 m →
53 009 m²		 S 41.081422°
W 40.468140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387584686279297 y=0.625370025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387584686279297 × 217)
    floor (0.387584686279297 × 131072)
    floor (50801.5)     		tx = 50801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625370025634766 × 217)
    floor (0.625370025634766 × 131072)
    floor (81968.5)     		ty = 81968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50801 / 81968 ti = "17/50801/81968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50801/81968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50801 ÷ 217
    50801 ÷ 131072     		x = 0.387580871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81968 ÷ 217
    81968 ÷ 131072     		y = 0.6253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387580871582031 × 2 - 1) × π
    -0.224838256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.70635022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.787699134556763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70635022} λ = -0.70635022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787699134556763))-π/2
    2×atan(0.454890233333346)-π/2
    2×0.426913197335358-π/2
    0.853826394670717-1.57079632675     		φ = -0.71696993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70635022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.470886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71696993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.079351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50801 KachelY 81968 -0.70635022 -0.71696993 -40.470886 -41.079351
    Oben rechts KachelX + 1 50802 KachelY 81968 -0.70630228 -0.71696993 -40.468140 -41.079351
    Unten links KachelX 50801 KachelY + 1 81969 -0.70635022 -0.71700607 -40.470886 -41.081422
    Unten rechts KachelX + 1 50802 KachelY + 1 81969 -0.70630228 -0.71700607 -40.468140 -41.081422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71696993--0.71700607) × R
    3.61400000000733e-05 × 6371000     		dl = 230.247940000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71696993--0.71700607) × R
    3.61400000000733e-05 × 6371000     		dr = 230.247940000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70635022--0.70630228) × cos(-0.71696993) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.753800256513115 × 6371000     		do = 230.23000115809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70635022--0.70630228) × cos(-0.71700607) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.753776508295863 × 6371000     		du = 230.222747841262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71696993)-sin(-0.71700607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753800256513115-0.753776508295863)×R²
    abs(-0.70630228--0.70635022)×2.37482172520398e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37482172520398e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37482172520398e-05×40589641000000     		ar = 53009.1484680492m²