Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 508 / 531
↖ ↑ ↗
← N 78.853070°
W135.351562°		 ← 1 889.37 m → N 78.853070°
W135.263672°		 →
↑
1 890.79 m
↓
↑
1 890.79 m
↓
N 78.836065°
W135.351562°		 ← 1 892.21 m →
3 575 082 m²		 N 78.836065°
W135.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1241455078125 y=0.1297607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1241455078125 × 212)
    floor (0.1241455078125 × 4096)
    floor (508.5)     		tx = 508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1297607421875 × 212)
    floor (0.1297607421875 × 4096)
    floor (531.5)     		ty = 531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 508 / 531 ti = "12/508/531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/508/531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 508 ÷ 212
    508 ÷ 4096     		x = 0.1240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 531 ÷ 212
    531 ÷ 4096     		y = 0.129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    0.74072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32704885515601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36233041} λ = -2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32704885515601))-π/2
    2×atan(10.2476545514975)-π/2
    2×1.47352100969588-π/2
    2.94704201939176-1.57079632675     		φ = 1.37624569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37624569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.853070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 508 KachelY 531 -2.36233041 1.37624569 -135.351562 78.853070
    Oben rechts KachelX + 1 509 KachelY 531 -2.36079643 1.37624569 -135.263672 78.853070
    Unten links KachelX 508 KachelY + 1 532 -2.36233041 1.37594891 -135.351562 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 509 KachelY + 1 532 -2.36079643 1.37594891 -135.263672 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37624569-1.37594891) × R
    0.000296779999999996 × 6371000     		dl = 1890.78537999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37624569-1.37594891) × R
    0.000296779999999996 × 6371000     		dr = 1890.78537999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36233041--2.36079643) × cos(1.37624569) × R
    0.00153398000000005 × 0.193325668688735 × 6371000     		do = 1889.36916566459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36233041--2.36079643) × cos(1.37594891) × R
    0.00153398000000005 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 1892.21479178099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37624569)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193325668688735-0.193616841309623)×R²
    abs(-2.36079643--2.36233041)×0.000291172620887764×R²
    0.00153398000000005×0.000291172620887764×6371000²
    0.00153398000000005×0.000291172620887764×40589641000000     		ar = 3575081.85623389m²