Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50799 / 82525
↖ ↑ ↗
← S 42.222416°
W 40.476379°		 ← 226.18 m → S 42.222416°
W 40.473633°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 42.224450°
W 40.476379°		 ← 226.17 m →
51 155 m²		 S 42.224450°
W 40.473633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387569427490234 y=0.629619598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387569427490234 × 217)
    floor (0.387569427490234 × 131072)
    floor (50799.5)     		tx = 50799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629619598388672 × 217)
    floor (0.629619598388672 × 131072)
    floor (82525.5)     		ty = 82525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50799 / 82525 ti = "17/50799/82525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50799/82525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50799 ÷ 217
    50799 ÷ 131072     		x = 0.387565612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82525 ÷ 217
    82525 ÷ 131072     		y = 0.629615783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387565612792969 × 2 - 1) × π
    -0.224868774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.70644609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629615783691406 × 2 - 1) × π
    -0.259231567382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.814399987645134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70644609} λ = -0.70644609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814399987645134))-π/2
    2×atan(0.442904996120816)-π/2
    2×0.416938076695094-π/2
    0.833876153390188-1.57079632675     		φ = -0.73692017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70644609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.476379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73692017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.222416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50799 KachelY 82525 -0.70644609 -0.73692017 -40.476379 -42.222416
    Oben rechts KachelX + 1 50800 KachelY 82525 -0.70639815 -0.73692017 -40.473633 -42.222416
    Unten links KachelX 50799 KachelY + 1 82526 -0.70644609 -0.73695567 -40.476379 -42.224450
    Unten rechts KachelX + 1 50800 KachelY + 1 82526 -0.70639815 -0.73695567 -40.473633 -42.224450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73692017--0.73695567) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73692017--0.73695567) × R
    3.54999999999661e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70644609--0.70639815) × cos(-0.73692017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.740541745270785 × 6371000     		do = 226.180510550596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70644609--0.70639815) × cos(-0.73695567) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.740517888436388 × 6371000     		du = 226.173224059297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73692017)-sin(-0.73695567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740541745270785-0.740517888436388)×R²
    abs(-0.70639815--0.70644609)×2.38568343973178e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38568343973178e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38568343973178e-05×40589641000000     		ar = 51154.5351719918m²