Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50797 / 48619
↖ ↑ ↗
← S 65.318712°
E 99.036255°		 ← 255.05 m → S 65.318712°
E 99.041748°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 65.321005°
E 99.036255°		 ← 255.02 m →
65 042 m²		 S 65.321005°
E 99.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775108337402344 y=0.741874694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775108337402344 × 216)
    floor (0.775108337402344 × 65536)
    floor (50797.5)     		tx = 50797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741874694824219 × 216)
    floor (0.741874694824219 × 65536)
    floor (48619.5)     		ty = 48619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50797 / 48619 ti = "16/50797/48619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50797/48619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50797 ÷ 216
    50797 ÷ 65536     		x = 0.775100708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48619 ÷ 216
    48619 ÷ 65536     		y = 0.741867065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775100708007812 × 2 - 1) × π
    0.550201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72850873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741867065429688 × 2 - 1) × π
    -0.483734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51969559175502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72850873} λ = 1.72850873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51969559175502))-π/2
    2×atan(0.218778474788307)-π/2
    2×0.215384873984683-π/2
    0.430769747969366-1.57079632675     		φ = -1.14002658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72850873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14002658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.318712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50797 KachelY 48619 1.72850873 -1.14002658 99.036255 -65.318712
    Oben rechts KachelX + 1 50798 KachelY 48619 1.72860460 -1.14002658 99.041748 -65.318712
    Unten links KachelX 50797 KachelY + 1 48620 1.72850873 -1.14006661 99.036255 -65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 50798 KachelY + 1 48620 1.72860460 -1.14006661 99.041748 -65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14002658--1.14006661) × R
    4.00300000000797e-05 × 6371000     		dl = 255.031130000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14002658--1.14006661) × R
    4.00300000000797e-05 × 6371000     		dr = 255.031130000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72850873-1.72860460) × cos(-1.14002658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41757035233252 × 6371000     		do = 255.046864319288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72850873-1.72860460) × cos(-1.14006661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 255.024647905033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14002658)-sin(-1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41757035233252-0.417533978954816)×R²
    abs(1.72860460-1.72850873)×3.63733777040687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63733777040687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63733777040687e-05×40589641000000     		ar = 65042.0570804583m²