Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50795 / 82301
↖ ↑ ↗
← S 41.765166°
W 40.487366°		 ← 227.81 m → S 41.765166°
W 40.484619°		 →
↑
227.83 m
↓
↑
227.83 m
↓
S 41.767215°
W 40.487366°		 ← 227.80 m →
51 901 m²		 S 41.767215°
W 40.484619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387538909912109 y=0.627910614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387538909912109 × 217)
    floor (0.387538909912109 × 131072)
    floor (50795.5)     		tx = 50795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627910614013672 × 217)
    floor (0.627910614013672 × 131072)
    floor (82301.5)     		ty = 82301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50795 / 82301 ti = "17/50795/82301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50795/82301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50795 ÷ 217
    50795 ÷ 131072     		x = 0.387535095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82301 ÷ 217
    82301 ÷ 131072     		y = 0.627906799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387535095214844 × 2 - 1) × π
    -0.224929809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.70663784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627906799316406 × 2 - 1) × π
    -0.255813598632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.803662122130241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70663784} λ = -0.70663784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803662122130241))-π/2
    2×atan(0.447686475905819)-π/2
    2×0.420928332833434-π/2
    0.841856665666869-1.57079632675     		φ = -0.72893966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70663784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.487366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72893966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.765166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50795 KachelY 82301 -0.70663784 -0.72893966 -40.487366 -41.765166
    Oben rechts KachelX + 1 50796 KachelY 82301 -0.70658990 -0.72893966 -40.484619 -41.765166
    Unten links KachelX 50795 KachelY + 1 82302 -0.70663784 -0.72897542 -40.487366 -41.767215
    Unten rechts KachelX + 1 50796 KachelY + 1 82302 -0.70658990 -0.72897542 -40.484619 -41.767215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72893966--0.72897542) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dl = 227.826960000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72893966--0.72897542) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dr = 227.826960000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70663784--0.70658990) × cos(-0.72893966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745881091853604 × 6371000     		do = 227.811284431245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70663784--0.70658990) × cos(-0.72897542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745857272387296 × 6371000     		du = 227.804009353122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72893966)-sin(-0.72897542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745881091853604-0.745857272387296)×R²
    abs(-0.70658990--0.70663784)×2.381946630714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.381946630714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.381946630714e-05×40589641000000     		ar = 51900.7236618282m²