Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50795 / 49006
↖ ↑ ↗
← S 66.191574°
E 99.025269°		 ← 246.56 m → S 66.191574°
E 99.030762°		 →
↑
246.56 m
↓
↑
246.56 m
↓
S 66.193792°
E 99.025269°		 ← 246.54 m →
60 789 m²		 S 66.193792°
E 99.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775077819824219 y=0.747779846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775077819824219 × 216)
    floor (0.775077819824219 × 65536)
    floor (50795.5)     		tx = 50795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747779846191406 × 216)
    floor (0.747779846191406 × 65536)
    floor (49006.5)     		ty = 49006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50795 / 49006 ti = "16/50795/49006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50795/49006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50795 ÷ 216
    50795 ÷ 65536     		x = 0.775070190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49006 ÷ 216
    49006 ÷ 65536     		y = 0.747772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775070190429688 × 2 - 1) × π
    0.550140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72831698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.49554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55679875206094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72831698} λ = 1.72831698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55679875206094))-π/2
    2×atan(0.210809846751511)-π/2
    2×0.207767708729061-π/2
    0.415535417458121-1.57079632675     		φ = -1.15526091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72831698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.025269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15526091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.191574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50795 KachelY 49006 1.72831698 -1.15526091 99.025269 -66.191574
    Oben rechts KachelX + 1 50796 KachelY 49006 1.72841285 -1.15526091 99.030762 -66.191574
    Unten links KachelX 50795 KachelY + 1 49007 1.72831698 -1.15529961 99.025269 -66.193792
    Unten rechts KachelX + 1 50796 KachelY + 1 49007 1.72841285 -1.15529961 99.030762 -66.193792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15526091--1.15529961) × R
    3.86999999999471e-05 × 6371000     		dl = 246.557699999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15526091--1.15529961) × R
    3.86999999999471e-05 × 6371000     		dr = 246.557699999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72831698-1.72841285) × cos(-1.15526091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403679841218036 × 6371000     		do = 246.562710011513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72831698-1.72841285) × cos(-1.15529961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403644434273573 × 6371000     		du = 246.541083882862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15526091)-sin(-1.15529961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403679841218036-0.403644434273573)×R²
    abs(1.72841285-1.72831698)×3.54069444626903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54069444626903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54069444626903e-05×40589641000000     		ar = 60789.2686494121m²