Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50788 / 48164
↖ ↑ ↗
← S 64.254141°
E 98.986816°		 ← 265.34 m → S 64.254141°
E 98.992310°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 64.256527°
E 98.986816°		 ← 265.32 m →
70 389 m²		 S 64.256527°
E 98.992310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774971008300781 y=0.734931945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774971008300781 × 216)
    floor (0.774971008300781 × 65536)
    floor (50788.5)     		tx = 50788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734931945800781 × 216)
    floor (0.734931945800781 × 65536)
    floor (48164.5)     		ty = 48164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50788 / 48164 ti = "16/50788/48164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50788/48164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50788 ÷ 216
    50788 ÷ 65536     		x = 0.77496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48164 ÷ 216
    48164 ÷ 65536     		y = 0.73492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77496337890625 × 2 - 1) × π
    0.5499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72764586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.4698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47607301310077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72764586} λ = 1.72764586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47607301310077))-π/2
    2×atan(0.228533376129839)-π/2
    2×0.224675005011822-π/2
    0.449350010023644-1.57079632675     		φ = -1.12144632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72764586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.986816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12144632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.254141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50788 KachelY 48164 1.72764586 -1.12144632 98.986816 -64.254141
    Oben rechts KachelX + 1 50789 KachelY 48164 1.72774174 -1.12144632 98.992310 -64.254141
    Unten links KachelX 50788 KachelY + 1 48165 1.72764586 -1.12148796 98.986816 -64.256527
    Unten rechts KachelX + 1 50789 KachelY + 1 48165 1.72774174 -1.12148796 98.992310 -64.256527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12144632--1.12148796) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dl = 265.288440000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12144632--1.12148796) × R
    4.1640000000065e-05 × 6371000     		dr = 265.288440000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72764586-1.72774174) × cos(-1.12144632) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434380157769814 × 6371000     		do = 265.34176225615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72764586-1.72774174) × cos(-1.12148796) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.434342651011167 × 6371000     		du = 265.318851197121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12144632)-sin(-1.12148796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434380157769814-0.434342651011167)×R²
    abs(1.72774174-1.72764586)×3.75067586474431e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.75067586474431e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.75067586474431e-05×40589641000000     		ar = 70389.0631666217m²