Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50787 / 48987
↖ ↑ ↗
← S 66.149407°
E 98.981323°		 ← 246.97 m → S 66.149407°
E 98.986816°		 →
↑
247 m
↓
↑
247 m
↓
S 66.151628°
E 98.981323°		 ← 246.95 m →
61 001 m²		 S 66.151628°
E 98.986816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774955749511719 y=0.747489929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774955749511719 × 216)
    floor (0.774955749511719 × 65536)
    floor (50787.5)     		tx = 50787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747489929199219 × 216)
    floor (0.747489929199219 × 65536)
    floor (48987.5)     		ty = 48987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50787 / 48987 ti = "16/50787/48987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50787/48987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50787 ÷ 216
    50787 ÷ 65536     		x = 0.774948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48987 ÷ 216
    48987 ÷ 65536     		y = 0.747482299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774948120117188 × 2 - 1) × π
    0.549896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72754999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747482299804688 × 2 - 1) × π
    -0.494964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55497714987538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72754999} λ = 1.72754999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55497714987538))-π/2
    2×atan(0.211194208399817)-π/2
    2×0.208135687285443-π/2
    0.416271374570886-1.57079632675     		φ = -1.15452495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72754999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15452495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.149407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50787 KachelY 48987 1.72754999 -1.15452495 98.981323 -66.149407
    Oben rechts KachelX + 1 50788 KachelY 48987 1.72764586 -1.15452495 98.986816 -66.149407
    Unten links KachelX 50787 KachelY + 1 48988 1.72754999 -1.15456372 98.981323 -66.151628
    Unten rechts KachelX + 1 50788 KachelY + 1 48988 1.72764586 -1.15456372 98.986816 -66.151628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15452495--1.15456372) × R
    3.87699999999658e-05 × 6371000     		dl = 247.003669999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15452495--1.15456372) × R
    3.87699999999658e-05 × 6371000     		dr = 247.003669999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72754999-1.72764586) × cos(-1.15452495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404353061868852 × 6371000     		do = 246.973904951543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72754999-1.72764586) × cos(-1.15456372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404317602407637 × 6371000     		du = 246.952246746302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15452495)-sin(-1.15456372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404353061868852-0.404317602407637)×R²
    abs(1.72764586-1.72754999)×3.54594612149151e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54594612149151e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54594612149151e-05×40589641000000     		ar = 61000.7860968572m²