Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50787 / 48165
↖ ↑ ↗
← S 64.256527°
E 98.981323°		 ← 265.29 m → S 64.256527°
E 98.986816°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
S 64.258913°
E 98.981323°		 ← 265.27 m →
70 376 m²		 S 64.258913°
E 98.986816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774955749511719 y=0.734947204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774955749511719 × 216)
    floor (0.774955749511719 × 65536)
    floor (50787.5)     		tx = 50787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734947204589844 × 216)
    floor (0.734947204589844 × 65536)
    floor (48165.5)     		ty = 48165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50787 / 48165 ti = "16/50787/48165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50787/48165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50787 ÷ 216
    50787 ÷ 65536     		x = 0.774948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48165 ÷ 216
    48165 ÷ 65536     		y = 0.734939575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774948120117188 × 2 - 1) × π
    0.549896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72754999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734939575195312 × 2 - 1) × π
    -0.469879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47616888690001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72754999} λ = 1.72754999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47616888690001))-π/2
    2×atan(0.228511466817098)-π/2
    2×0.224654183072735-π/2
    0.44930836614547-1.57079632675     		φ = -1.12148796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72754999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12148796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.256527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50787 KachelY 48165 1.72754999 -1.12148796 98.981323 -64.256527
    Oben rechts KachelX + 1 50788 KachelY 48165 1.72764586 -1.12148796 98.986816 -64.256527
    Unten links KachelX 50787 KachelY + 1 48166 1.72754999 -1.12152960 98.981323 -64.258913
    Unten rechts KachelX + 1 50788 KachelY + 1 48166 1.72764586 -1.12152960 98.986816 -64.258913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12148796--1.12152960) × R
    4.16399999998429e-05 × 6371000     		dl = 265.288439998999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12148796--1.12152960) × R
    4.16399999998429e-05 × 6371000     		dr = 265.288439998999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72754999-1.72764586) × cos(-1.12148796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434342651011167 × 6371000     		do = 265.291179226993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72754999-1.72764586) × cos(-1.12152960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434305143499417 × 6371000     		du = 265.268270097533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12148796)-sin(-1.12152960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434342651011167-0.434305143499417)×R²
    abs(1.72764586-1.72754999)×3.75075117495238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75075117495238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75075117495238e-05×40589641000000     		ar = 70375.6443291365m²