Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50785 / 49011
↖ ↑ ↗
← S 66.202659°
E 98.970337°		 ← 246.45 m → S 66.202659°
E 98.975830°		 →
↑
246.43 m
↓
↑
246.43 m
↓
S 66.204876°
E 98.970337°		 ← 246.43 m →
60 731 m²		 S 66.204876°
E 98.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774925231933594 y=0.747856140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774925231933594 × 216)
    floor (0.774925231933594 × 65536)
    floor (50785.5)     		tx = 50785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747856140136719 × 216)
    floor (0.747856140136719 × 65536)
    floor (49011.5)     		ty = 49011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50785 / 49011 ti = "16/50785/49011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50785/49011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50785 ÷ 216
    50785 ÷ 65536     		x = 0.774917602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49011 ÷ 216
    49011 ÷ 65536     		y = 0.747848510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774917602539062 × 2 - 1) × π
    0.549835205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72735824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.495697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55727812105714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72735824} λ = 1.72735824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55727812105714))-π/2
    2×atan(0.2107088152645)-π/2
    2×0.207670974143612-π/2
    0.415341948287223-1.57079632675     		φ = -1.15545438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72735824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.970337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15545438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.202659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50785 KachelY 49011 1.72735824 -1.15545438 98.970337 -66.202659
    Oben rechts KachelX + 1 50786 KachelY 49011 1.72745411 -1.15545438 98.975830 -66.202659
    Unten links KachelX 50785 KachelY + 1 49012 1.72735824 -1.15549306 98.970337 -66.204876
    Unten rechts KachelX + 1 50786 KachelY + 1 49012 1.72745411 -1.15549306 98.975830 -66.204876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15545438--1.15549306) × R
    3.86800000000687e-05 × 6371000     		dl = 246.430280000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15545438--1.15549306) × R
    3.86800000000687e-05 × 6371000     		dr = 246.430280000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72735824-1.72745411) × cos(-1.15545438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403502827900262 × 6371000     		do = 246.454592441889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72735824-1.72745411) × cos(-1.15549306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403467436234007 × 6371000     		du = 246.432975644981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15545438)-sin(-1.15549306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403502827900262-0.403467436234007)×R²
    abs(1.72745411-1.72735824)×3.53916662550469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53916662550469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53916662550469e-05×40589641000000     		ar = 60731.21071367m²