Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50782 / 48163
↖ ↑ ↗
← S 64.251755°
E 98.953857°		 ← 265.34 m → S 64.251755°
E 98.959350°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
S 64.254141°
E 98.953857°		 ← 265.31 m →
70 405 m²		 S 64.254141°
E 98.959350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774879455566406 y=0.734916687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774879455566406 × 216)
    floor (0.774879455566406 × 65536)
    floor (50782.5)     		tx = 50782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734916687011719 × 216)
    floor (0.734916687011719 × 65536)
    floor (48163.5)     		ty = 48163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50782 / 48163 ti = "16/50782/48163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50782/48163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50782 ÷ 216
    50782 ÷ 65536     		x = 0.774871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48163 ÷ 216
    48163 ÷ 65536     		y = 0.734909057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774871826171875 × 2 - 1) × π
    0.54974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72707062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734909057617188 × 2 - 1) × π
    -0.469818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47597713930153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72707062} λ = 1.72707062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47597713930153))-π/2
    2×atan(0.228555287543211)-π/2
    2×0.224695828749094-π/2
    0.449391657498187-1.57079632675     		φ = -1.12140467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72707062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12140467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.251755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50782 KachelY 48163 1.72707062 -1.12140467 98.953857 -64.251755
    Oben rechts KachelX + 1 50783 KachelY 48163 1.72716649 -1.12140467 98.959350 -64.251755
    Unten links KachelX 50782 KachelY + 1 48164 1.72707062 -1.12144632 98.953857 -64.254141
    Unten rechts KachelX + 1 50783 KachelY + 1 48164 1.72716649 -1.12144632 98.959350 -64.254141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12140467--1.12144632) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12140467--1.12144632) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72707062-1.72716649) × cos(-1.12140467) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.43441767278241 × 6371000     		do = 265.337001607966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72707062-1.72716649) × cos(-1.12144632) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.434380157769814 × 6371000     		du = 265.314087897082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12140467)-sin(-1.12144632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43441767278241-0.434380157769814)×R²
    abs(1.72716649-1.72707062)×3.75150125956902e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.75150125956902e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.75150125956902e-05×40589641000000     		ar = 70404.7037602835m²