Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50776 / 49368
↖ ↑ ↗
← S 66.981666°
E 98.920899°		 ← 238.83 m → S 66.981666°
E 98.926392°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
S 66.983814°
E 98.920899°		 ← 238.81 m →
57 043 m²		 S 66.983814°
E 98.926392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774787902832031 y=0.753303527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774787902832031 × 216)
    floor (0.774787902832031 × 65536)
    floor (50776.5)     		tx = 50776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753303527832031 × 216)
    floor (0.753303527832031 × 65536)
    floor (49368.5)     		ty = 49368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50776 / 49368 ti = "16/50776/49368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50776/49368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50776 ÷ 216
    50776 ÷ 65536     		x = 0.7747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49368 ÷ 216
    49368 ÷ 65536     		y = 0.7532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7747802734375 × 2 - 1) × π
    0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72649538} λ = 1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59150506738586))-π/2
    2×atan(0.203618920800005)-π/2
    2×0.200872857350808-π/2
    0.401745714701615-1.57079632675     		φ = -1.16905061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16905061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.981666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50776 KachelY 49368 1.72649538 -1.16905061 98.920899 -66.981666
    Oben rechts KachelX + 1 50777 KachelY 49368 1.72659125 -1.16905061 98.926392 -66.981666
    Unten links KachelX 50776 KachelY + 1 49369 1.72649538 -1.16908810 98.920899 -66.983814
    Unten rechts KachelX + 1 50777 KachelY + 1 49369 1.72659125 -1.16908810 98.926392 -66.983814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16905061--1.16908810) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16905061--1.16908810) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72649538-1.72659125) × cos(-1.16905061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391025659756983 × 6371000     		do = 238.833690735741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72649538-1.72659125) × cos(-1.16908810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390991154444368 × 6371000     		du = 238.812615312796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16905061)-sin(-1.16908810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391025659756983-0.390991154444368)×R²
    abs(1.72659125-1.72649538)×3.45053126147854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45053126147854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45053126147854e-05×40589641000000     		ar = 57042.6211305409m²