Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50774 / 82466
↖ ↑ ↗
← S 42.102298°
W 40.545044°		 ← 226.56 m → S 42.102298°
W 40.542298°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 42.104336°
W 40.545044°		 ← 226.56 m →
51 328 m²		 S 42.104336°
W 40.542298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387378692626953 y=0.629169464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387378692626953 × 217)
    floor (0.387378692626953 × 131072)
    floor (50774.5)     		tx = 50774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629169464111328 × 217)
    floor (0.629169464111328 × 131072)
    floor (82466.5)     		ty = 82466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50774 / 82466 ti = "17/50774/82466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50774/82466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50774 ÷ 217
    50774 ÷ 131072     		x = 0.387374877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82466 ÷ 217
    82466 ÷ 131072     		y = 0.629165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387374877929688 × 2 - 1) × π
    -0.225250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.70764451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.258331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811571710567551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70764451} λ = -0.70764451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811571710567551))-π/2
    2×atan(0.444159427272128)-π/2
    2×0.417986300374607-π/2
    0.835972600749213-1.57079632675     		φ = -0.73482373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70764451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.545044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73482373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.102298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50774 KachelY 82466 -0.70764451 -0.73482373 -40.545044 -42.102298
    Oben rechts KachelX + 1 50775 KachelY 82466 -0.70759658 -0.73482373 -40.542298 -42.102298
    Unten links KachelX 50774 KachelY + 1 82467 -0.70764451 -0.73485929 -40.545044 -42.104336
    Unten rechts KachelX + 1 50775 KachelY + 1 82467 -0.70759658 -0.73485929 -40.542298 -42.104336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73482373--0.73485929) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dl = 226.55276000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73482373--0.73485929) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dr = 226.55276000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70764451--0.70759658) × cos(-0.73482373) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.741948946274887 × 6371000     		do = 226.563036390474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70764451--0.70759658) × cos(-0.73485929) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.74192510437682 × 6371000     		du = 226.555755980082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73482373)-sin(-0.73485929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741948946274887-0.74192510437682)×R²
    abs(-0.70759658--0.70764451)×2.384189806659e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.384189806659e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.384189806659e-05×40589641000000     		ar = 51327.6565152425m²