Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50772 / 49172
↖ ↑ ↗
← S 66.557006°
E 98.898926°		 ← 243.02 m → S 66.557006°
E 98.904419°		 →
↑
242.99 m
↓
↑
242.99 m
↓
S 66.559192°
E 98.898926°		 ← 243 m →
59 049 m²		 S 66.559192°
E 98.904419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774726867675781 y=0.750312805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774726867675781 × 216)
    floor (0.774726867675781 × 65536)
    floor (50772.5)     		tx = 50772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750312805175781 × 216)
    floor (0.750312805175781 × 65536)
    floor (49172.5)     		ty = 49172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50772 / 49172 ti = "16/50772/49172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50772/49172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50772 ÷ 216
    50772 ÷ 65536     		x = 0.77471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49172 ÷ 216
    49172 ÷ 65536     		y = 0.75030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72611188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.5006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5727138027348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72611188} λ = 1.72611188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5727138027348))-π/2
    2×atan(0.207481354177442)-π/2
    2×0.204578711353177-π/2
    0.409157422706354-1.57079632675     		φ = -1.16163890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72611188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16163890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.557006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50772 KachelY 49172 1.72611188 -1.16163890 98.898926 -66.557006
    Oben rechts KachelX + 1 50773 KachelY 49172 1.72620776 -1.16163890 98.904419 -66.557006
    Unten links KachelX 50772 KachelY + 1 49173 1.72611188 -1.16167704 98.898926 -66.559192
    Unten rechts KachelX + 1 50773 KachelY + 1 49173 1.72620776 -1.16167704 98.904419 -66.559192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16163890--1.16167704) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dl = 242.989940000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16163890--1.16167704) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dr = 242.989940000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72611188-1.72620776) × cos(-1.16163890) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.397836445152434 × 6371000     		do = 243.018981319707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72611188-1.72620776) × cos(-1.16167704) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.397801453077713 × 6371000     		du = 242.997606359075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16163890)-sin(-1.16167704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397836445152434-0.397801453077713)×R²
    abs(1.72620776-1.72611188)×3.49920747207966e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49920747207966e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49920747207966e-05×40589641000000     		ar = 59048.570746647m²