Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50768 / 48143
↖ ↑ ↗
← S 64.203987°
E 98.876953°		 ← 265.80 m → S 64.203987°
E 98.882446°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 64.206377°
E 98.876953°		 ← 265.77 m →
70 645 m²		 S 64.206377°
E 98.882446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774665832519531 y=0.734611511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774665832519531 × 216)
    floor (0.774665832519531 × 65536)
    floor (50768.5)     		tx = 50768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734611511230469 × 216)
    floor (0.734611511230469 × 65536)
    floor (48143.5)     		ty = 48143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50768 / 48143 ti = "16/50768/48143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50768/48143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50768 ÷ 216
    50768 ÷ 65536     		x = 0.774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48143 ÷ 216
    48143 ÷ 65536     		y = 0.734603881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774658203125 × 2 - 1) × π
    0.54931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72572839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734603881835938 × 2 - 1) × π
    -0.469207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47405966331673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72572839} λ = 1.72572839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47405966331673))-π/2
    2×atan(0.228993957253186)-π/2
    2×0.225112681296831-π/2
    0.450225362593661-1.57079632675     		φ = -1.12057096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72572839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12057096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.203987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50768 KachelY 48143 1.72572839 -1.12057096 98.876953 -64.203987
    Oben rechts KachelX + 1 50769 KachelY 48143 1.72582426 -1.12057096 98.882446 -64.203987
    Unten links KachelX 50768 KachelY + 1 48144 1.72572839 -1.12061268 98.876953 -64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 50769 KachelY + 1 48144 1.72582426 -1.12061268 98.882446 -64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12057096--1.12061268) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12057096--1.12061268) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72572839-1.72582426) × cos(-1.12057096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435168453940952 × 6371000     		do = 265.795569556936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72572839-1.72582426) × cos(-1.12061268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 265.772626571855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12057096)-sin(-1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435168453940952-0.435130890999766)×R²
    abs(1.72582426-1.72572839)×3.75629411857314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75629411857314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75629411857314e-05×40589641000000     		ar = 70644.9136019435m²