Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50765 / 48975
↖ ↑ ↗
← S 66.122739°
E 98.860473°		 ← 247.26 m → S 66.122739°
E 98.865967°		 →
↑
247.26 m
↓
↑
247.26 m
↓
S 66.124962°
E 98.860473°		 ← 247.24 m →
61 134 m²		 S 66.124962°
E 98.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774620056152344 y=0.747306823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774620056152344 × 216)
    floor (0.774620056152344 × 65536)
    floor (50765.5)     		tx = 50765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747306823730469 × 216)
    floor (0.747306823730469 × 65536)
    floor (48975.5)     		ty = 48975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50765 / 48975 ti = "16/50765/48975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50765/48975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50765 ÷ 216
    50765 ÷ 65536     		x = 0.774612426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48975 ÷ 216
    48975 ÷ 65536     		y = 0.747299194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774612426757812 × 2 - 1) × π
    0.549224853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72544076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.494598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5538266642845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72544076} λ = 1.72544076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5538266642845))-π/2
    2×atan(0.211437324117207)-π/2
    2×0.20836841088031-π/2
    0.41673682176062-1.57079632675     		φ = -1.15405950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72544076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.860473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15405950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.122739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50765 KachelY 48975 1.72544076 -1.15405950 98.860473 -66.122739
    Oben rechts KachelX + 1 50766 KachelY 48975 1.72553664 -1.15405950 98.865967 -66.122739
    Unten links KachelX 50765 KachelY + 1 48976 1.72544076 -1.15409831 98.860473 -66.124962
    Unten rechts KachelX + 1 50766 KachelY + 1 48976 1.72553664 -1.15409831 98.865967 -66.124962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15405950--1.15409831) × R
    3.88099999999447e-05 × 6371000     		dl = 247.258509999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15405950--1.15409831) × R
    3.88099999999447e-05 × 6371000     		dr = 247.258509999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72544076-1.72553664) × cos(-1.15405950) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404778720007791 × 6371000     		do = 247.259680189675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72544076-1.72553664) × cos(-1.15409831) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404743231269634 × 6371000     		du = 247.238001841449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15405950)-sin(-1.15409831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404778720007791-0.404743231269634)×R²
    abs(1.72553664-1.72544076)×3.54887381571189e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.54887381571189e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.54887381571189e-05×40589641000000     		ar = 61134.3800366478m²