Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50763 / 48839
↖ ↑ ↗
← S 65.818532°
E 98.849487°		 ← 250.20 m → S 65.818532°
E 98.854980°		 →
↑
250.19 m
↓
↑
250.19 m
↓
S 65.820782°
E 98.849487°		 ← 250.17 m →
62 594 m²		 S 65.820782°
E 98.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774589538574219 y=0.745231628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774589538574219 × 216)
    floor (0.774589538574219 × 65536)
    floor (50763.5)     		tx = 50763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745231628417969 × 216)
    floor (0.745231628417969 × 65536)
    floor (48839.5)     		ty = 48839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50763 / 48839 ti = "16/50763/48839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50763/48839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50763 ÷ 216
    50763 ÷ 65536     		x = 0.774581909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48839 ÷ 216
    48839 ÷ 65536     		y = 0.745223999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774581909179688 × 2 - 1) × π
    0.549163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72524902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745223999023438 × 2 - 1) × π
    -0.490447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54078782758784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72524902} λ = 1.72524902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54078782758784))-π/2
    2×atan(0.2142122725937)-π/2
    2×0.211023114743704-π/2
    0.422046229487408-1.57079632675     		φ = -1.14875010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72524902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.849487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14875010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.818532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50763 KachelY 48839 1.72524902 -1.14875010 98.849487 -65.818532
    Oben rechts KachelX + 1 50764 KachelY 48839 1.72534489 -1.14875010 98.854980 -65.818532
    Unten links KachelX 50763 KachelY + 1 48840 1.72524902 -1.14878937 98.849487 -65.820782
    Unten rechts KachelX + 1 50764 KachelY + 1 48840 1.72534489 -1.14878937 98.854980 -65.820782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14875010--1.14878937) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dl = 250.189170000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14875010--1.14878937) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dr = 250.189170000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72524902-1.72534489) × cos(-1.14875010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409627985156324 × 6371000     		do = 250.195763583219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72524902-1.72534489) × cos(-1.14878937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409592160678565 × 6371000     		du = 250.173882430337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14875010)-sin(-1.14878937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409627985156324-0.409592160678565)×R²
    abs(1.72534489-1.72524902)×3.5824477758517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5824477758517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5824477758517e-05×40589641000000     		ar = 62593.5332229189m²