Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50762 / 48202
↖ ↑ ↗
← S 64.344665°
E 98.843994°		 ← 264.47 m → S 64.344665°
E 98.849487°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 64.347043°
E 98.843994°		 ← 264.45 m →
69 939 m²		 S 64.347043°
E 98.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774574279785156 y=0.735511779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774574279785156 × 216)
    floor (0.774574279785156 × 65536)
    floor (50762.5)     		tx = 50762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735511779785156 × 216)
    floor (0.735511779785156 × 65536)
    floor (48202.5)     		ty = 48202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50762 / 48202 ti = "16/50762/48202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50762/48202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50762 ÷ 216
    50762 ÷ 65536     		x = 0.774566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48202 ÷ 216
    48202 ÷ 65536     		y = 0.735504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774566650390625 × 2 - 1) × π
    0.54913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72515314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735504150390625 × 2 - 1) × π
    -0.47100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47971621747189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72515314} λ = 1.72515314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47971621747189))-π/2
    2×atan(0.2277022971495)-π/2
    2×0.223885034361125-π/2
    0.447770068722249-1.57079632675     		φ = -1.12302626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72515314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12302626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.344665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50762 KachelY 48202 1.72515314 -1.12302626 98.843994 -64.344665
    Oben rechts KachelX + 1 50763 KachelY 48202 1.72524902 -1.12302626 98.849487 -64.344665
    Unten links KachelX 50762 KachelY + 1 48203 1.72515314 -1.12306777 98.843994 -64.347043
    Unten rechts KachelX + 1 50763 KachelY + 1 48203 1.72524902 -1.12306777 98.849487 -64.347043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12302626--1.12306777) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12302626--1.12306777) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72515314-1.72524902) × cos(-1.12302626) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.43295651742755 × 6371000     		do = 264.472129446092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72515314-1.72524902) × cos(-1.12306777) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.432919099325919 × 6371000     		du = 264.449272543331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12302626)-sin(-1.12306777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43295651742755-0.432919099325919)×R²
    abs(1.72524902-1.72515314)×3.74181016311037e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.74181016311037e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.74181016311037e-05×40589641000000     		ar = 69939.3325317917m²