Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50760 / 48200
↖ ↑ ↗
← S 64.339908°
E 98.833008°		 ← 264.49 m → S 64.339908°
E 98.838501°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 64.342287°
E 98.833008°		 ← 264.47 m →
69 961 m²		 S 64.342287°
E 98.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774543762207031 y=0.735481262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774543762207031 × 216)
    floor (0.774543762207031 × 65536)
    floor (50760.5)     		tx = 50760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735481262207031 × 216)
    floor (0.735481262207031 × 65536)
    floor (48200.5)     		ty = 48200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50760 / 48200 ti = "16/50760/48200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50760/48200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50760 ÷ 216
    50760 ÷ 65536     		x = 0.7745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48200 ÷ 216
    48200 ÷ 65536     		y = 0.7354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47952446987341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72496140} λ = 1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47952446987341))-π/2
    2×atan(0.227745962704396)-π/2
    2×0.223926547134991-π/2
    0.447853094269982-1.57079632675     		φ = -1.12294323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12294323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.339908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50760 KachelY 48200 1.72496140 -1.12294323 98.833008 -64.339908
    Oben rechts KachelX + 1 50761 KachelY 48200 1.72505727 -1.12294323 98.838501 -64.339908
    Unten links KachelX 50760 KachelY + 1 48201 1.72496140 -1.12298475 98.833008 -64.342287
    Unten rechts KachelX + 1 50761 KachelY + 1 48201 1.72505727 -1.12298475 98.838501 -64.342287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12294323--1.12298475) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dl = 264.523920000816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12294323--1.12298475) × R
    4.15200000001281e-05 × 6371000     		dr = 264.523920000816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72496140-1.72505727) × cos(-1.12294323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433031360406481 × 6371000     		do = 264.490258962735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72496140-1.72505727) × cos(-1.12298475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432993934783163 × 6371000     		du = 264.467399849728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12294323)-sin(-1.12298475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433031360406481-0.432993934783163)×R²
    abs(1.72505727-1.72496140)×3.74256233178771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74256233178771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74256233178771e-05×40589641000000     		ar = 69960.9767217526m²