Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50758 / 48966
↖ ↑ ↗
← S 66.102720°
E 98.822022°		 ← 247.43 m → S 66.102720°
E 98.827515°		 →
↑
247.39 m
↓
↑
247.39 m
↓
S 66.104944°
E 98.822022°		 ← 247.41 m →
61 208 m²		 S 66.104944°
E 98.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774513244628906 y=0.747169494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774513244628906 × 216)
    floor (0.774513244628906 × 65536)
    floor (50758.5)     		tx = 50758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747169494628906 × 216)
    floor (0.747169494628906 × 65536)
    floor (48966.5)     		ty = 48966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50758 / 48966 ti = "16/50758/48966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50758/48966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50758 ÷ 216
    50758 ÷ 65536     		x = 0.774505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48966 ÷ 216
    48966 ÷ 65536     		y = 0.747161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    0.54901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72476965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.49432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55296380009134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72476965} λ = 1.72476965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55296380009134))-π/2
    2×atan(0.211619844547133)-π/2
    2×0.208543114319408-π/2
    0.417086228638817-1.57079632675     		φ = -1.15371010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72476965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.822022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15371010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.102720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50758 KachelY 48966 1.72476965 -1.15371010 98.822022 -66.102720
    Oben rechts KachelX + 1 50759 KachelY 48966 1.72486552 -1.15371010 98.827515 -66.102720
    Unten links KachelX 50758 KachelY + 1 48967 1.72476965 -1.15374893 98.822022 -66.104944
    Unten rechts KachelX + 1 50759 KachelY + 1 48967 1.72486552 -1.15374893 98.827515 -66.104944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15371010--1.15374893) × R
    3.88299999998232e-05 × 6371000     		dl = 247.385929998873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15371010--1.15374893) × R
    3.88299999998232e-05 × 6371000     		dr = 247.385929998873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72476965-1.72486552) × cos(-1.15371010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405098191779054 × 6371000     		do = 247.429021187755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72476965-1.72486552) × cos(-1.15374893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40506269024593 × 6371000     		du = 247.407337285507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15371010)-sin(-1.15374893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405098191779054-0.40506269024593)×R²
    abs(1.72486552-1.72476965)×3.55015331236497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55015331236497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55015331236497e-05×40589641000000     		ar = 61207.7763768652m²