Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50757 / 48965
↖ ↑ ↗
← S 66.100494°
E 98.816528°		 ← 247.48 m → S 66.100494°
E 98.822022°		 →
↑
247.45 m
↓
↑
247.45 m
↓
S 66.102720°
E 98.816528°		 ← 247.45 m →
61 235 m²		 S 66.102720°
E 98.822022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774497985839844 y=0.747154235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774497985839844 × 216)
    floor (0.774497985839844 × 65536)
    floor (50757.5)     		tx = 50757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747154235839844 × 216)
    floor (0.747154235839844 × 65536)
    floor (48965.5)     		ty = 48965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50757 / 48965 ti = "16/50757/48965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50757/48965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50757 ÷ 216
    50757 ÷ 65536     		x = 0.774490356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48965 ÷ 216
    48965 ÷ 65536     		y = 0.747146606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774490356445312 × 2 - 1) × π
    0.548980712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72467377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.494293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5528679262921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72467377} λ = 1.72467377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5528679262921))-π/2
    2×atan(0.211640134318238)-π/2
    2×0.208562534321956-π/2
    0.417125068643912-1.57079632675     		φ = -1.15367126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72467377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15367126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.100494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50757 KachelY 48965 1.72467377 -1.15367126 98.816528 -66.100494
    Oben rechts KachelX + 1 50758 KachelY 48965 1.72476965 -1.15367126 98.822022 -66.100494
    Unten links KachelX 50757 KachelY + 1 48966 1.72467377 -1.15371010 98.816528 -66.102720
    Unten rechts KachelX + 1 50758 KachelY + 1 48966 1.72476965 -1.15371010 98.822022 -66.102720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15367126--1.15371010) × R
    3.88399999999844e-05 × 6371000     		dl = 247.449639999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15367126--1.15371010) × R
    3.88399999999844e-05 × 6371000     		dr = 247.449639999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72467377-1.72476965) × cos(-1.15367126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405133701843958 × 6371000     		do = 247.476521369098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72467377-1.72476965) × cos(-1.15371010) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405098191779054 × 6371000     		du = 247.454829993397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15367126)-sin(-1.15371010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405133701843958-0.405098191779054)×R²
    abs(1.72476965-1.72467377)×3.55100649038209e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.55100649038209e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.55100649038209e-05×40589641000000     		ar = 61235.2923673314m²