Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50757 / 48709
↖ ↑ ↗
← S 65.524344°
E 98.816528°		 ← 253.08 m → S 65.524344°
E 98.822022°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 65.526620°
E 98.816528°		 ← 253.06 m →
64 041 m²		 S 65.526620°
E 98.822022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774497985839844 y=0.743247985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774497985839844 × 216)
    floor (0.774497985839844 × 65536)
    floor (50757.5)     		tx = 50757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743247985839844 × 216)
    floor (0.743247985839844 × 65536)
    floor (48709.5)     		ty = 48709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50757 / 48709 ti = "16/50757/48709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50757/48709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50757 ÷ 216
    50757 ÷ 65536     		x = 0.774490356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48709 ÷ 216
    48709 ÷ 65536     		y = 0.743240356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774490356445312 × 2 - 1) × π
    0.548980712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72467377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743240356445312 × 2 - 1) × π
    -0.486480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52832423368663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72467377} λ = 1.72467377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52832423368663))-π/2
    2×atan(0.216898834699785)-π/2
    2×0.213590389233026-π/2
    0.427180778466053-1.57079632675     		φ = -1.14361555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72467377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14361555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.524344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50757 KachelY 48709 1.72467377 -1.14361555 98.816528 -65.524344
    Oben rechts KachelX + 1 50758 KachelY 48709 1.72476965 -1.14361555 98.822022 -65.524344
    Unten links KachelX 50757 KachelY + 1 48710 1.72467377 -1.14365527 98.816528 -65.526620
    Unten rechts KachelX + 1 50758 KachelY + 1 48710 1.72476965 -1.14365527 98.822022 -65.526620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14361555--1.14365527) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14361555--1.14365527) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72467377-1.72476965) × cos(-1.14361555) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		do = 253.079782583319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72467377-1.72476965) × cos(-1.14365527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414270420858267 × 6371000     		du = 253.057699701329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14361555)-sin(-1.14365527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414306571842119-0.414270420858267)×R²
    abs(1.72476965-1.72467377)×3.61509838520124e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61509838520124e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61509838520124e-05×40589641000000     		ar = 64040.5937354159m²