Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50755 / 48941
↖ ↑ ↗
← S 66.047027°
E 98.805542°		 ← 247.97 m → S 66.047027°
E 98.811035°		 →
↑
247.96 m
↓
↑
247.96 m
↓
S 66.049257°
E 98.805542°		 ← 247.95 m →
61 484 m²		 S 66.049257°
E 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774467468261719 y=0.746788024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774467468261719 × 216)
    floor (0.774467468261719 × 65536)
    floor (50755.5)     		tx = 50755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746788024902344 × 216)
    floor (0.746788024902344 × 65536)
    floor (48941.5)     		ty = 48941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50755 / 48941 ti = "16/50755/48941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50755/48941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50755 ÷ 216
    50755 ÷ 65536     		x = 0.774459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48941 ÷ 216
    48941 ÷ 65536     		y = 0.746780395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774459838867188 × 2 - 1) × π
    0.548919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72448203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746780395507812 × 2 - 1) × π
    -0.493560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55056695511034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72448203} λ = 1.72448203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55056695511034))-π/2
    2×atan(0.21212767285917)-π/2
    2×0.209029125349682-π/2
    0.418058250699364-1.57079632675     		φ = -1.15273808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72448203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15273808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.047027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50755 KachelY 48941 1.72448203 -1.15273808 98.805542 -66.047027
    Oben rechts KachelX + 1 50756 KachelY 48941 1.72457790 -1.15273808 98.811035 -66.047027
    Unten links KachelX 50755 KachelY + 1 48942 1.72448203 -1.15277700 98.805542 -66.049257
    Unten rechts KachelX + 1 50756 KachelY + 1 48942 1.72457790 -1.15277700 98.811035 -66.049257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15273808--1.15277700) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dl = 247.959319999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15273808--1.15277700) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dr = 247.959319999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72448203-1.72457790) × cos(-1.15273808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405986692086437 × 6371000     		do = 247.971706309146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72448203-1.72457790) × cos(-1.15277700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405951123608721 × 6371000     		du = 247.94998151796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15273808)-sin(-1.15277700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405986692086437-0.405951123608721)×R²
    abs(1.72457790-1.72448203)×3.55684777156862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55684777156862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55684777156862e-05×40589641000000     		ar = 61484.2022513111m²