Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50753 / 48963
↖ ↑ ↗
← S 66.096043°
E 98.794556°		 ← 247.49 m → S 66.096043°
E 98.800049°		 →
↑
247.45 m
↓
↑
247.45 m
↓
S 66.098268°
E 98.794556°		 ← 247.47 m →
61 240 m²		 S 66.098268°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774436950683594 y=0.747123718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774436950683594 × 216)
    floor (0.774436950683594 × 65536)
    floor (50753.5)     		tx = 50753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747123718261719 × 216)
    floor (0.747123718261719 × 65536)
    floor (48963.5)     		ty = 48963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50753 / 48963 ti = "16/50753/48963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50753/48963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50753 ÷ 216
    50753 ÷ 65536     		x = 0.774429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48963 ÷ 216
    48963 ÷ 65536     		y = 0.747116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    0.548858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72429028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747116088867188 × 2 - 1) × π
    -0.494232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55267617869362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72429028} λ = 1.72429028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55267617869362))-π/2
    2×atan(0.211680719696685)-π/2
    2×0.208601379434079-π/2
    0.417202758868158-1.57079632675     		φ = -1.15359357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72429028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15359357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.096043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50753 KachelY 48963 1.72429028 -1.15359357 98.794556 -66.096043
    Oben rechts KachelX + 1 50754 KachelY 48963 1.72438615 -1.15359357 98.800049 -66.096043
    Unten links KachelX 50753 KachelY + 1 48964 1.72429028 -1.15363241 98.794556 -66.098268
    Unten rechts KachelX + 1 50754 KachelY + 1 48964 1.72438615 -1.15363241 98.800049 -66.098268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15359357--1.15363241) × R
    3.88399999999844e-05 × 6371000     		dl = 247.449639999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15359357--1.15363241) × R
    3.88399999999844e-05 × 6371000     		dr = 247.449639999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72429028-1.72438615) × cos(-1.15359357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405204729282484 × 6371000     		do = 247.494092991897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72429028-1.72438615) × cos(-1.15363241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405169220440116 × 6371000     		du = 247.472404625252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15359357)-sin(-1.15363241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405204729282484-0.405169220440116)×R²
    abs(1.72438615-1.72429028)×3.5508842367582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5508842367582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5508842367582e-05×40589641000000     		ar = 61239.6408314122m²