Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50753 / 47937
↖ ↑ ↗
← S 63.707156°
E 98.794556°		 ← 270.55 m → S 63.707156°
E 98.800049°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 63.709589°
E 98.794556°		 ← 270.53 m →
73 185 m²		 S 63.709589°
E 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774436950683594 y=0.731468200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774436950683594 × 216)
    floor (0.774436950683594 × 65536)
    floor (50753.5)     		tx = 50753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731468200683594 × 216)
    floor (0.731468200683594 × 65536)
    floor (47937.5)     		ty = 47937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50753 / 47937 ti = "16/50753/47937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50753/47937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50753 ÷ 216
    50753 ÷ 65536     		x = 0.774429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47937 ÷ 216
    47937 ÷ 65536     		y = 0.731460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    0.548858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72429028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731460571289062 × 2 - 1) × π
    -0.462921142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45430966067326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72429028} λ = 1.72429028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45430966067326))-π/2
    2×atan(0.233561544979644)-π/2
    2×0.229448350670873-π/2
    0.458896701341746-1.57079632675     		φ = -1.11189963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72429028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11189963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.707156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50753 KachelY 47937 1.72429028 -1.11189963 98.794556 -63.707156
    Oben rechts KachelX + 1 50754 KachelY 47937 1.72438615 -1.11189963 98.800049 -63.707156
    Unten links KachelX 50753 KachelY + 1 47938 1.72429028 -1.11194209 98.794556 -63.709589
    Unten rechts KachelX + 1 50754 KachelY + 1 47938 1.72438615 -1.11194209 98.800049 -63.709589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11189963--1.11194209) × R
    4.24600000001885e-05 × 6371000     		dl = 270.512660001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11189963--1.11194209) × R
    4.24600000001885e-05 × 6371000     		dr = 270.512660001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72429028-1.72438615) × cos(-1.11189963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442959219369533 × 6371000     		do = 270.554073799652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72429028-1.72438615) × cos(-1.11194209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44292115180706 × 6371000     		du = 270.53082259806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11189963)-sin(-1.11194209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442959219369533-0.44292115180706)×R²
    abs(1.72438615-1.72429028)×3.80675624735982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80675624735982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80675624735982e-05×40589641000000     		ar = 73185.1573162173m²