Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50752 / 47940
↖ ↑ ↗
← S 63.714454°
E 98.789063°		 ← 270.48 m → S 63.714454°
E 98.794556°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 63.716887°
E 98.789063°		 ← 270.46 m →
73 166 m²		 S 63.716887°
E 98.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774421691894531 y=0.731513977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774421691894531 × 216)
    floor (0.774421691894531 × 65536)
    floor (50752.5)     		tx = 50752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731513977050781 × 216)
    floor (0.731513977050781 × 65536)
    floor (47940.5)     		ty = 47940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50752 / 47940 ti = "16/50752/47940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50752/47940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50752 ÷ 216
    50752 ÷ 65536     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47940 ÷ 216
    47940 ÷ 65536     		y = 0.73150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4630126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45459728207098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45459728207098))-π/2
    2×atan(0.233494377341512)-π/2
    2×0.22938465660813-π/2
    0.458769313216259-1.57079632675     		φ = -1.11202701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11202701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.714454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50752 KachelY 47940 1.72419441 -1.11202701 98.789063 -63.714454
    Oben rechts KachelX + 1 50753 KachelY 47940 1.72429028 -1.11202701 98.794556 -63.714454
    Unten links KachelX 50752 KachelY + 1 47941 1.72419441 -1.11206947 98.789063 -63.716887
    Unten rechts KachelX + 1 50753 KachelY + 1 47941 1.72429028 -1.11206947 98.794556 -63.716887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11202701--1.11206947) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dl = 270.512659999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11202701--1.11206947) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dr = 270.512659999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72429028) × cos(-1.11202701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442845014286618 × 6371000     		do = 270.484318731736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72429028) × cos(-1.11206947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442806944328787 × 6371000     		du = 270.461066067088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11202701)-sin(-1.11206947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442845014286618-0.442806944328787)×R²
    abs(1.72429028-1.72419441)×3.80699578308441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80699578308441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80699578308441e-05×40589641000000     		ar = 73166.2874892222m²