Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50751 / 48970
↖ ↑ ↗
← S 66.111619°
E 98.783569°		 ← 247.37 m → S 66.111619°
E 98.789063°		 →
↑
247.39 m
↓
↑
247.39 m
↓
S 66.113843°
E 98.783569°		 ← 247.35 m →
61 193 m²		 S 66.113843°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774406433105469 y=0.747230529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774406433105469 × 216)
    floor (0.774406433105469 × 65536)
    floor (50751.5)     		tx = 50751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747230529785156 × 216)
    floor (0.747230529785156 × 65536)
    floor (48970.5)     		ty = 48970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50751 / 48970 ti = "16/50751/48970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50751/48970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50751 ÷ 216
    50751 ÷ 65536     		x = 0.774398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48970 ÷ 216
    48970 ÷ 65536     		y = 0.747222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774398803710938 × 2 - 1) × π
    0.548797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72409853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.49444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5533472952883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72409853} λ = 1.72409853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5533472952883))-π/2
    2×atan(0.211538704912492)-π/2
    2×0.208465451329845-π/2
    0.41693090265969-1.57079632675     		φ = -1.15386542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72409853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.783569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15386542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.111619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50751 KachelY 48970 1.72409853 -1.15386542 98.783569 -66.111619
    Oben rechts KachelX + 1 50752 KachelY 48970 1.72419441 -1.15386542 98.789063 -66.111619
    Unten links KachelX 50751 KachelY + 1 48971 1.72409853 -1.15390425 98.783569 -66.113843
    Unten rechts KachelX + 1 50752 KachelY + 1 48971 1.72419441 -1.15390425 98.789063 -66.113843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15386542--1.15390425) × R
    3.88300000000452e-05 × 6371000     		dl = 247.385930000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15386542--1.15390425) × R
    3.88300000000452e-05 × 6371000     		dr = 247.385930000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72409853-1.72419441) × cos(-1.15386542) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404956181982327 × 6371000     		do = 247.368083098892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72409853-1.72419441) × cos(-1.15390425) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404920678006561 × 6371000     		du = 247.346395442749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15386542)-sin(-1.15390425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404956181982327-0.404920678006561)×R²
    abs(1.72419441-1.72409853)×3.55039757663489e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.55039757663489e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.55039757663489e-05×40589641000000     		ar = 61192.7006868535m²