Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50747 / 48710
↖ ↑ ↗
← S 65.526620°
E 98.761597°		 ← 253.03 m → S 65.526620°
E 98.767090°		 →
↑
252.99 m
↓
↑
252.99 m
↓
S 65.528895°
E 98.761597°		 ← 253.01 m →
64 012 m²		 S 65.528895°
E 98.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774345397949219 y=0.743263244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774345397949219 × 216)
    floor (0.774345397949219 × 65536)
    floor (50747.5)     		tx = 50747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743263244628906 × 216)
    floor (0.743263244628906 × 65536)
    floor (48710.5)     		ty = 48710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50747 / 48710 ti = "16/50747/48710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50747/48710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50747 ÷ 216
    50747 ÷ 65536     		x = 0.774337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48710 ÷ 216
    48710 ÷ 65536     		y = 0.743255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774337768554688 × 2 - 1) × π
    0.548675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72371504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.48651123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52842010748587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72371504} λ = 1.72371504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52842010748587))-π/2
    2×atan(0.216878040781264)-π/2
    2×0.213570529526887-π/2
    0.427141059053775-1.57079632675     		φ = -1.14365527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72371504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14365527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.526620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50747 KachelY 48710 1.72371504 -1.14365527 98.761597 -65.526620
    Oben rechts KachelX + 1 50748 KachelY 48710 1.72381091 -1.14365527 98.767090 -65.526620
    Unten links KachelX 50747 KachelY + 1 48711 1.72371504 -1.14369498 98.761597 -65.528895
    Unten rechts KachelX + 1 50748 KachelY + 1 48711 1.72381091 -1.14369498 98.767090 -65.528895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14365527--1.14369498) × R
    3.97100000000261e-05 × 6371000     		dl = 252.992410000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14365527--1.14369498) × R
    3.97100000000261e-05 × 6371000     		dr = 252.992410000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72371504-1.72381091) × cos(-1.14365527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414270420858267 × 6371000     		do = 253.031306532977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72371504-1.72381091) × cos(-1.14369498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414234278322532 × 6371000     		du = 253.009231114173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14365527)-sin(-1.14369498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414270420858267-0.414234278322532)×R²
    abs(1.72381091-1.72371504)×3.61425357346401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61425357346401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61425357346401e-05×40589641000000     		ar = 64012.2075969885m²