Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50746 / 48972
↖ ↑ ↗
← S 66.116068°
E 98.756103°		 ← 247.32 m → S 66.116068°
E 98.761597°		 →
↑
247.26 m
↓
↑
247.26 m
↓
S 66.118291°
E 98.756103°		 ← 247.30 m →
61 150 m²		 S 66.118291°
E 98.761597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774330139160156 y=0.747261047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774330139160156 × 216)
    floor (0.774330139160156 × 65536)
    floor (50746.5)     		tx = 50746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747261047363281 × 216)
    floor (0.747261047363281 × 65536)
    floor (48972.5)     		ty = 48972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50746 / 48972 ti = "16/50746/48972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50746/48972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50746 ÷ 216
    50746 ÷ 65536     		x = 0.774322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48972 ÷ 216
    48972 ÷ 65536     		y = 0.74725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774322509765625 × 2 - 1) × π
    0.54864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72361916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.4945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55353904288678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72361916} λ = 1.72361916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55353904288678))-π/2
    2×atan(0.211498146762428)-π/2
    2×0.208426630045761-π/2
    0.416853260091523-1.57079632675     		φ = -1.15394307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72361916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.756103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15394307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.116068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50746 KachelY 48972 1.72361916 -1.15394307 98.756103 -66.116068
    Oben rechts KachelX + 1 50747 KachelY 48972 1.72371504 -1.15394307 98.761597 -66.116068
    Unten links KachelX 50746 KachelY + 1 48973 1.72361916 -1.15398188 98.756103 -66.118291
    Unten rechts KachelX + 1 50747 KachelY + 1 48973 1.72371504 -1.15398188 98.761597 -66.118291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15394307--1.15398188) × R
    3.88099999999447e-05 × 6371000     		dl = 247.258509999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15394307--1.15398188) × R
    3.88099999999447e-05 × 6371000     		dr = 247.258509999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72361916-1.72371504) × cos(-1.15394307) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404885182563943 × 6371000     		do = 247.324712999666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72361916-1.72371504) × cos(-1.15398188) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.404849695654999 × 6371000     		du = 247.303035768816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15394307)-sin(-1.15398188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404885182563943-0.404849695654999)×R²
    abs(1.72371504-1.72361916)×3.54869089441157e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.54869089441157e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.54869089441157e-05×40589641000000     		ar = 61150.460090089m²