Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50745 / 48711
↖ ↑ ↗
← S 65.528895°
E 98.750610°		 ← 253.01 m → S 65.528895°
E 98.756103°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 65.531171°
E 98.750610°		 ← 252.99 m →
64 023 m²		 S 65.531171°
E 98.756103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774314880371094 y=0.743278503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774314880371094 × 216)
    floor (0.774314880371094 × 65536)
    floor (50745.5)     		tx = 50745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743278503417969 × 216)
    floor (0.743278503417969 × 65536)
    floor (48711.5)     		ty = 48711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50745 / 48711 ti = "16/50745/48711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50745/48711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50745 ÷ 216
    50745 ÷ 65536     		x = 0.774307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48711 ÷ 216
    48711 ÷ 65536     		y = 0.743270874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774307250976562 × 2 - 1) × π
    0.548614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72352329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743270874023438 × 2 - 1) × π
    -0.486541748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52851598128511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72352329} λ = 1.72352329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52851598128511))-π/2
    2×atan(0.216857248856239)-π/2
    2×0.213550671553629-π/2
    0.427101343107258-1.57079632675     		φ = -1.14369498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72352329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.750610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14369498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.528895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50745 KachelY 48711 1.72352329 -1.14369498 98.750610 -65.528895
    Oben rechts KachelX + 1 50746 KachelY 48711 1.72361916 -1.14369498 98.756103 -65.528895
    Unten links KachelX 50745 KachelY + 1 48712 1.72352329 -1.14373470 98.750610 -65.531171
    Unten rechts KachelX + 1 50746 KachelY + 1 48712 1.72361916 -1.14373470 98.756103 -65.531171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14369498--1.14373470) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14369498--1.14373470) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72352329-1.72361916) × cos(-1.14369498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414234278322532 × 6371000     		do = 253.009231114173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72352329-1.72361916) × cos(-1.14373470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414198126031731 × 6371000     		du = 252.987149737094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14369498)-sin(-1.14373470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414234278322532-0.414198126031731)×R²
    abs(1.72361916-1.72352329)×3.615229080145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.615229080145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.615229080145e-05×40589641000000     		ar = 64022.7404442775m²