Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50744 / 48585
↖ ↑ ↗
← S 65.240607°
E 98.745117°		 ← 255.80 m → S 65.240607°
E 98.750610°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 65.242908°
E 98.745117°		 ← 255.78 m →
65 430 m²		 S 65.242908°
E 98.750610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774299621582031 y=0.741355895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774299621582031 × 216)
    floor (0.774299621582031 × 65536)
    floor (50744.5)     		tx = 50744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741355895996094 × 216)
    floor (0.741355895996094 × 65536)
    floor (48585.5)     		ty = 48585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50744 / 48585 ti = "16/50744/48585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50744/48585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50744 ÷ 216
    50744 ÷ 65536     		x = 0.7742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48585 ÷ 216
    48585 ÷ 65536     		y = 0.741348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    0.548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72342742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741348266601562 × 2 - 1) × π
    -0.482696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51643588258086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72342742} λ = 1.72342742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51643588258086))-π/2
    2×atan(0.219492792591321)-π/2
    2×0.216066461634747-π/2
    0.432132923269495-1.57079632675     		φ = -1.13866340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72342742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13866340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.240607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50744 KachelY 48585 1.72342742 -1.13866340 98.745117 -65.240607
    Oben rechts KachelX + 1 50745 KachelY 48585 1.72352329 -1.13866340 98.750610 -65.240607
    Unten links KachelX 50744 KachelY + 1 48586 1.72342742 -1.13870355 98.745117 -65.242908
    Unten rechts KachelX + 1 50745 KachelY + 1 48586 1.72352329 -1.13870355 98.750610 -65.242908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13866340--1.13870355) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13866340--1.13870355) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72342742-1.72352329) × cos(-1.13866340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418808610111512 × 6371000     		do = 255.803177026804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72342742-1.72352329) × cos(-1.13870355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418772150581665 × 6371000     		du = 255.780907991874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13866340)-sin(-1.13870355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418808610111512-0.418772150581665)×R²
    abs(1.72352329-1.72342742)×3.64595298470993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64595298470993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64595298470993e-05×40589641000000     		ar = 65430.4917874546m²