Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50743 / 83475
↖ ↑ ↗
← S 44.125057°
W 40.630188°		 ← 219.24 m → S 44.125057°
W 40.627441°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 44.127028°
W 40.630188°		 ← 219.23 m →
48 063 m²		 S 44.127028°
W 40.627441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387142181396484 y=0.636867523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387142181396484 × 217)
    floor (0.387142181396484 × 131072)
    floor (50743.5)     		tx = 50743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636867523193359 × 217)
    floor (0.636867523193359 × 131072)
    floor (83475.5)     		ty = 83475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50743 / 83475 ti = "17/50743/83475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50743/83475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50743 ÷ 217
    50743 ÷ 131072     		x = 0.387138366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83475 ÷ 217
    83475 ÷ 131072     		y = 0.636863708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387138366699219 × 2 - 1) × π
    -0.225723266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.70913056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636863708496094 × 2 - 1) × π
    -0.273727416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.859940042284187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70913056} λ = -0.70913056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859940042284187))-π/2
    2×atan(0.423187454910257)-π/2
    2×0.400334404280608-π/2
    0.800668808561216-1.57079632675     		φ = -0.77012752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70913056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.630188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77012752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.125057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50743 KachelY 83475 -0.70913056 -0.77012752 -40.630188 -44.125057
    Oben rechts KachelX + 1 50744 KachelY 83475 -0.70908262 -0.77012752 -40.627441 -44.125057
    Unten links KachelX 50743 KachelY + 1 83476 -0.70913056 -0.77016193 -40.630188 -44.127028
    Unten rechts KachelX + 1 50744 KachelY + 1 83476 -0.70908262 -0.77016193 -40.627441 -44.127028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77012752--0.77016193) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dl = 219.226110000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77012752--0.77016193) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dr = 219.226110000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70913056--0.70908262) × cos(-0.77012752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717821892608456 × 6371000     		do = 219.241282737994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70913056--0.70908262) × cos(-0.77016193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717797935019961 × 6371000     		du = 219.2339654738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77012752)-sin(-0.77016193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717821892608456-0.717797935019961)×R²
    abs(-0.70908262--0.70913056)×2.39575884951604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39575884951604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39575884951604e-05×40589641000000     		ar = 48062.6115033227m²