Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50741 / 48613
↖ ↑ ↗
← S 65.304945°
E 98.728637°		 ← 255.21 m → S 65.304945°
E 98.734131°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 65.307240°
E 98.728637°		 ← 255.18 m →
65 115 m²		 S 65.307240°
E 98.734131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774253845214844 y=0.741783142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774253845214844 × 216)
    floor (0.774253845214844 × 65536)
    floor (50741.5)     		tx = 50741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741783142089844 × 216)
    floor (0.741783142089844 × 65536)
    floor (48613.5)     		ty = 48613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50741 / 48613 ti = "16/50741/48613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50741/48613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50741 ÷ 216
    50741 ÷ 65536     		x = 0.774246215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48613 ÷ 216
    48613 ÷ 65536     		y = 0.741775512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774246215820312 × 2 - 1) × π
    0.548492431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72313979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.483551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51912034895958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72313979} λ = 1.72313979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51912034895958))-π/2
    2×atan(0.218904361734034)-π/2
    2×0.215505007545865-π/2
    0.43101001509173-1.57079632675     		φ = -1.13978631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72313979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.728637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13978631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.304945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50741 KachelY 48613 1.72313979 -1.13978631 98.728637 -65.304945
    Oben rechts KachelX + 1 50742 KachelY 48613 1.72323567 -1.13978631 98.734131 -65.304945
    Unten links KachelX 50741 KachelY + 1 48614 1.72313979 -1.13982636 98.728637 -65.307240
    Unten rechts KachelX + 1 50742 KachelY + 1 48614 1.72323567 -1.13982636 98.734131 -65.307240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13978631--1.13982636) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13978631--1.13982636) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72313979-1.72323567) × cos(-1.13978631) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41778866031427 × 6371000     		do = 255.206821480021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72313979-1.72323567) × cos(-1.13982636) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.417752272782416 × 6371000     		du = 255.184594102335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13978631)-sin(-1.13982636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41778866031427-0.417752272782416)×R²
    abs(1.72323567-1.72313979)×3.63875318532547e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.63875318532547e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.63875318532547e-05×40589641000000     		ar = 65115.3667745906m²