Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50740 / 48600
↖ ↑ ↗
← S 65.275093°
E 98.723145°		 ← 255.47 m → S 65.275093°
E 98.728637°		 →
↑
255.48 m
↓
↑
255.48 m
↓
S 65.277391°
E 98.723145°		 ← 255.45 m →
65 264 m²		 S 65.277391°
E 98.728637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774238586425781 y=0.741584777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774238586425781 × 216)
    floor (0.774238586425781 × 65536)
    floor (50740.5)     		tx = 50740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741584777832031 × 216)
    floor (0.741584777832031 × 65536)
    floor (48600.5)     		ty = 48600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50740 / 48600 ti = "16/50740/48600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50740/48600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50740 ÷ 216
    50740 ÷ 65536     		x = 0.77423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48600 ÷ 216
    48600 ÷ 65536     		y = 0.7415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    0.5484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72304392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72304392} λ = 1.72304392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51787398956946))-π/2
    2×atan(0.219177365335781)-π/2
    2×0.215765512409514-π/2
    0.431531024819028-1.57079632675     		φ = -1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72304392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.723145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50740 KachelY 48600 1.72304392 -1.13926530 98.723145 -65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 50741 KachelY 48600 1.72313979 -1.13926530 98.728637 -65.275093
    Unten links KachelX 50740 KachelY + 1 48601 1.72304392 -1.13930540 98.723145 -65.277391
    Unten rechts KachelX + 1 50741 KachelY + 1 48601 1.72313979 -1.13930540 98.728637 -65.277391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13926530--1.13930540) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dl = 255.477100000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13926530--1.13930540) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dr = 255.477100000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72304392-1.72313979) × cos(-1.13926530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 255.469292403255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72304392-1.72313979) × cos(-1.13930540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418225539995779 × 6371000     		du = 255.447044931062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13926530)-sin(-1.13930540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418225539995779)×R²
    abs(1.72313979-1.72304392)×3.64242266885917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64242266885917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64242266885917e-05×40589641000000     		ar = 65263.7121114152m²