Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50737 / 48622
↖ ↑ ↗
← S 65.325592°
E 98.706665°		 ← 254.98 m → S 65.325592°
E 98.712158°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 65.327885°
E 98.706665°		 ← 254.96 m →
65 009 m²		 S 65.327885°
E 98.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774192810058594 y=0.741920471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774192810058594 × 216)
    floor (0.774192810058594 × 65536)
    floor (50737.5)     		tx = 50737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741920471191406 × 216)
    floor (0.741920471191406 × 65536)
    floor (48622.5)     		ty = 48622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50737 / 48622 ti = "16/50737/48622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50737/48622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50737 ÷ 216
    50737 ÷ 65536     		x = 0.774185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48622 ÷ 216
    48622 ÷ 65536     		y = 0.741912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774185180664062 × 2 - 1) × π
    0.548370361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72275630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.48382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51998321315274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72275630} λ = 1.72275630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51998321315274))-π/2
    2×atan(0.218715558466071)-π/2
    2×0.215324830746842-π/2
    0.430649661493685-1.57079632675     		φ = -1.14014667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72275630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14014667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.325592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50737 KachelY 48622 1.72275630 -1.14014667 98.706665 -65.325592
    Oben rechts KachelX + 1 50738 KachelY 48622 1.72285217 -1.14014667 98.712158 -65.325592
    Unten links KachelX 50737 KachelY + 1 48623 1.72275630 -1.14018669 98.706665 -65.327885
    Unten rechts KachelX + 1 50738 KachelY + 1 48623 1.72285217 -1.14018669 98.712158 -65.327885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14014667--1.14018669) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dl = 254.96741999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14014667--1.14018669) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dr = 254.96741999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72275630-1.72285217) × cos(-1.14014667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417461230192296 × 6371000     		do = 254.980213850603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72275630-1.72285217) × cos(-1.14018669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41742486389471 × 6371000     		du = 254.958001760798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14014667)-sin(-1.14018669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417461230192296-0.41742486389471)×R²
    abs(1.72285217-1.72275630)×3.63662975850776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63662975850776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63662975850776e-05×40589641000000     		ar = 65008.8156055072m²