Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50735 / 49197
↖ ↑ ↗
← S 66.611581°
E 98.695679°		 ← 242.46 m → S 66.611581°
E 98.701172°		 →
↑
242.48 m
↓
↑
242.48 m
↓
S 66.613762°
E 98.695679°		 ← 242.44 m →
58 789 m²		 S 66.613762°
E 98.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774162292480469 y=0.750694274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774162292480469 × 216)
    floor (0.774162292480469 × 65536)
    floor (50735.5)     		tx = 50735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750694274902344 × 216)
    floor (0.750694274902344 × 65536)
    floor (49197.5)     		ty = 49197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50735 / 49197 ti = "16/50735/49197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50735/49197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50735 ÷ 216
    50735 ÷ 65536     		x = 0.774154663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49197 ÷ 216
    49197 ÷ 65536     		y = 0.750686645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774154663085938 × 2 - 1) × π
    0.548309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72256455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750686645507812 × 2 - 1) × π
    -0.501373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57511064771581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72256455} λ = 1.72256455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57511064771581))-π/2
    2×atan(0.206984649035435)-π/2
    2×0.204102459117798-π/2
    0.408204918235597-1.57079632675     		φ = -1.16259141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72256455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.695679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16259141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.611581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50735 KachelY 49197 1.72256455 -1.16259141 98.695679 -66.611581
    Oben rechts KachelX + 1 50736 KachelY 49197 1.72266042 -1.16259141 98.701172 -66.611581
    Unten links KachelX 50735 KachelY + 1 49198 1.72256455 -1.16262947 98.695679 -66.613762
    Unten rechts KachelX + 1 50736 KachelY + 1 49198 1.72266042 -1.16262947 98.701172 -66.613762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16259141--1.16262947) × R
    3.80599999998399e-05 × 6371000     		dl = 242.48025999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16259141--1.16262947) × R
    3.80599999998399e-05 × 6371000     		dr = 242.48025999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72256455-1.72266042) × cos(-1.16259141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396962378458518 × 6371000     		do = 242.459765912569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72256455-1.72266042) × cos(-1.16262947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396927445375416 × 6371000     		du = 242.438429212642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16259141)-sin(-1.16262947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396962378458518-0.396927445375416)×R²
    abs(1.72266042-1.72256455)×3.49330831019845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49330831019845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49330831019845e-05×40589641000000     		ar = 58789.1202206698m²