Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50734 / 48623
↖ ↑ ↗
← S 65.327885°
E 98.690186°		 ← 254.96 m → S 65.327885°
E 98.695679°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 65.330178°
E 98.690186°		 ← 254.94 m →
65 003 m²		 S 65.330178°
E 98.695679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774147033691406 y=0.741935729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774147033691406 × 216)
    floor (0.774147033691406 × 65536)
    floor (50734.5)     		tx = 50734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741935729980469 × 216)
    floor (0.741935729980469 × 65536)
    floor (48623.5)     		ty = 48623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50734 / 48623 ti = "16/50734/48623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50734/48623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50734 ÷ 216
    50734 ÷ 65536     		x = 0.774139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48623 ÷ 216
    48623 ÷ 65536     		y = 0.741928100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774139404296875 × 2 - 1) × π
    0.54827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72246868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741928100585938 × 2 - 1) × π
    -0.483856201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52007908695198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72246868} λ = 1.72246868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52007908695198))-π/2
    2×atan(0.218694590379689)-π/2
    2×0.215304819821245-π/2
    0.43060963964249-1.57079632675     		φ = -1.14018669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72246868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14018669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.327885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50734 KachelY 48623 1.72246868 -1.14018669 98.690186 -65.327885
    Oben rechts KachelX + 1 50735 KachelY 48623 1.72256455 -1.14018669 98.695679 -65.327885
    Unten links KachelX 50734 KachelY + 1 48624 1.72246868 -1.14022671 98.690186 -65.330178
    Unten rechts KachelX + 1 50735 KachelY + 1 48624 1.72256455 -1.14022671 98.695679 -65.330178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14018669--1.14022671) × R
    4.00200000001405e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14018669--1.14022671) × R
    4.00200000001405e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72246868-1.72256455) × cos(-1.14018669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41742486389471 × 6371000     		do = 254.958001760798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72246868-1.72256455) × cos(-1.14022671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417388496928577 × 6371000     		du = 254.935789262652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14018669)-sin(-1.14022671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41742486389471-0.417388496928577)×R²
    abs(1.72256455-1.72246868)×3.63669661331278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63669661331278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63669661331278e-05×40589641000000     		ar = 65003.1521943086m²