Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50733 / 48854
↖ ↑ ↗
← S 65.852262°
E 98.684692°		 ← 249.89 m → S 65.852262°
E 98.690186°		 →
↑
249.87 m
↓
↑
249.87 m
↓
S 65.854510°
E 98.684692°		 ← 249.87 m →
62 438 m²		 S 65.854510°
E 98.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774131774902344 y=0.745460510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774131774902344 × 216)
    floor (0.774131774902344 × 65536)
    floor (50733.5)     		tx = 50733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745460510253906 × 216)
    floor (0.745460510253906 × 65536)
    floor (48854.5)     		ty = 48854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50733 / 48854 ti = "16/50733/48854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50733/48854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50733 ÷ 216
    50733 ÷ 65536     		x = 0.774124145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48854 ÷ 216
    48854 ÷ 65536     		y = 0.745452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774124145507812 × 2 - 1) × π
    0.548248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72237280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.49090576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54222593457645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72237280} λ = 1.72237280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54222593457645))-π/2
    2×atan(0.21390443383303)-π/2
    2×0.210728763449307-π/2
    0.421457526898614-1.57079632675     		φ = -1.14933880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72237280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.684692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14933880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.852262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50733 KachelY 48854 1.72237280 -1.14933880 98.684692 -65.852262
    Oben rechts KachelX + 1 50734 KachelY 48854 1.72246868 -1.14933880 98.690186 -65.852262
    Unten links KachelX 50733 KachelY + 1 48855 1.72237280 -1.14937802 98.684692 -65.854510
    Unten rechts KachelX + 1 50734 KachelY + 1 48855 1.72246868 -1.14937802 98.690186 -65.854510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14933880--1.14937802) × R
    3.92199999998954e-05 × 6371000     		dl = 249.870619999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14933880--1.14937802) × R
    3.92199999998954e-05 × 6371000     		dr = 249.870619999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72237280-1.72246868) × cos(-1.14933880) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409090871065105 × 6371000     		do = 249.893764044445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72237280-1.72246868) × cos(-1.14937802) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409055082749572 × 6371000     		du = 249.871902698935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14933880)-sin(-1.14937802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409090871065105-0.409055082749572)×R²
    abs(1.72246868-1.72237280)×3.57883155325811e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.57883155325811e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.57883155325811e-05×40589641000000     		ar = 62438.3785099576m²