Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50732 / 48957
↖ ↑ ↗
← S 66.082684°
E 98.679199°		 ← 247.62 m → S 66.082684°
E 98.684692°		 →
↑
247.58 m
↓
↑
247.58 m
↓
S 66.084911°
E 98.679199°		 ← 247.60 m →
61 303 m²		 S 66.084911°
E 98.684692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774116516113281 y=0.747032165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774116516113281 × 216)
    floor (0.774116516113281 × 65536)
    floor (50732.5)     		tx = 50732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747032165527344 × 216)
    floor (0.747032165527344 × 65536)
    floor (48957.5)     		ty = 48957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50732 / 48957 ti = "16/50732/48957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50732/48957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50732 ÷ 216
    50732 ÷ 65536     		x = 0.77410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48957 ÷ 216
    48957 ÷ 65536     		y = 0.747024536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77410888671875 × 2 - 1) × π
    0.5482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72227693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747024536132812 × 2 - 1) × π
    -0.494049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55210093589818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72227693} λ = 1.72227693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55210093589818))-π/2
    2×atan(0.211802522535369)-π/2
    2×0.208717955635304-π/2
    0.417435911270608-1.57079632675     		φ = -1.15336042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72227693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15336042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.082684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50732 KachelY 48957 1.72227693 -1.15336042 98.679199 -66.082684
    Oben rechts KachelX + 1 50733 KachelY 48957 1.72237280 -1.15336042 98.684692 -66.082684
    Unten links KachelX 50732 KachelY + 1 48958 1.72227693 -1.15339928 98.679199 -66.084911
    Unten rechts KachelX + 1 50733 KachelY + 1 48958 1.72237280 -1.15339928 98.684692 -66.084911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15336042--1.15339928) × R
    3.88599999998629e-05 × 6371000     		dl = 247.577059999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15336042--1.15339928) × R
    3.88599999998629e-05 × 6371000     		dr = 247.577059999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72227693-1.72237280) × cos(-1.15336042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405417870052613 × 6371000     		do = 247.62427676758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72227693-1.72237280) × cos(-1.15339928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405382346597455 × 6371000     		du = 247.602579475621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15336042)-sin(-1.15339928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405417870052613-0.405382346597455)×R²
    abs(1.72237280-1.72227693)×3.55234551575601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55234551575601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55234551575601e-05×40589641000000     		ar = 61303.4045582079m²