Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50731 / 48743
↖ ↑ ↗
← S 65.601609°
E 98.673706°		 ← 252.30 m → S 65.601609°
E 98.679199°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
S 65.603878°
E 98.673706°		 ← 252.28 m →
63 651 m²		 S 65.603878°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774101257324219 y=0.743766784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774101257324219 × 216)
    floor (0.774101257324219 × 65536)
    floor (50731.5)     		tx = 50731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743766784667969 × 216)
    floor (0.743766784667969 × 65536)
    floor (48743.5)     		ty = 48743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50731 / 48743 ti = "16/50731/48743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50731/48743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50731 ÷ 216
    50731 ÷ 65536     		x = 0.774093627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48743 ÷ 216
    48743 ÷ 65536     		y = 0.743759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774093627929688 × 2 - 1) × π
    0.548187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72218106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.487518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53158394286079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72218106} λ = 1.72218106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53158394286079))-π/2
    2×atan(0.216192958678755)-π/2
    2×0.212916130652852-π/2
    0.425832261305704-1.57079632675     		φ = -1.14496407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72218106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.673706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14496407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.601609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50731 KachelY 48743 1.72218106 -1.14496407 98.673706 -65.601609
    Oben rechts KachelX + 1 50732 KachelY 48743 1.72227693 -1.14496407 98.679199 -65.601609
    Unten links KachelX 50731 KachelY + 1 48744 1.72218106 -1.14500367 98.673706 -65.603878
    Unten rechts KachelX + 1 50732 KachelY + 1 48744 1.72227693 -1.14500367 98.679199 -65.603878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14496407--1.14500367) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14496407--1.14500367) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72218106-1.72227693) × cos(-1.14496407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41307885703454 × 6371000     		do = 252.30351392227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72218106-1.72227693) × cos(-1.14500367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413042793178339 × 6371000     		du = 252.281486559963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14496407)-sin(-1.14500367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41307885703454-0.413042793178339)×R²
    abs(1.72227693-1.72218106)×3.60638562013627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60638562013627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60638562013627e-05×40589641000000     		ar = 63651.2785624583m²